Encontre uma segunda solu ̧c ̃ao, usando redu ̧c ̃ao de ordem, para cada equa ̧c ̃ao diferencial. 2) t 2 y 00 − t(t + 1)y 0 + y = 0, t > 0; y1 = t

Para encontrar uma segunda solução usando redução de ordem, primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea associada, que é dada por: y(t) = c*t^(-1) + d*t onde c e d são constantes a serem determinadas. Agora, podemos usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma segunda solução particular. Suponha que a segunda solução seja da forma: y2(t) = u(t)*y1(t) onde u(t) é uma função a ser determinada. Substituindo y2(t) na equação diferencial original, temos: t^2[u''(t)*y1(t) + 2*u'(t)*y1'(t) + u(t)*y1''(t)] - t(t+1)[u'(t)*y1(t) + u(t)*y1'(t)] + u(t)*y1(t) = 0 Substituindo y1(t) = t, y1'(t) = 1 e y1''(t) = 0, temos: t^2[u''(t)*t + 2*u'(t)] - t(t+1)[u'(t)*t] + u(t)*t = 0 Simplificando, temos: t^2*u''(t) + t*u'(t) = 0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis: t^2*u'(t) = -u(t) u'(t)/u(t) = -1/t^2 Integrando ambos os lados, temos: ln|u(t)| = 1/t + C onde C é uma constante de integração. Exponenciando ambos os lados, temos: u(t) = K/t onde K é uma constante a ser determinada. Portanto, a segunda solução da equação diferencial é dada por: y2(t) = K*t^(-1)*t = K onde K é uma constante a ser determinada.