Círculo Trigonométrico

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Ciclo trigonométrico com os arcos notáveis – de 0º a 360º 
 
 
1. Múltiplos de 30º: 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 330º e 360º; 
2. Múltiplos de 60º: 0º, 60º, 120º, 180º, 240º, 300º e 360º; 
3. Múltiplos de 45º: 0º, 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º e 360º. 
Lembre-se: O raio da circunferência trigonométrica é 1 (por convenção). 
 
 
 
Você deverá completar a tabela abaixo: 
 
Grau 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
Radiano 0 
4
π 2π 
Seno 0 1
2
− 
Co-seno 1 0 3
2
− 
Tangente 
 3 ∃ ∃
1 
Obs: Para calcular a tangente, basta dividir o seno pelo co-seno – assim: 
cos
sentg = (( (
 
. 
 
1 O símbolo ∃ quer dizer “não existe”. Ou seja, não existe a tangente de 90º, etc. 
Exemplo: 
3
60º 3260º 31cos 60º 1
2
sentg = = = = 
 
Funções trigonométricas 
 
Seno de um arco: Associando cada nº real x a um arco pAP da circunferência trigonométrica, com origem no 
ponto A(0,1) e extremidade em um ponto P tal que med(pAP ) = x rad, dizemos que o seno do arco x é a 
ordenada OP1 do ponto P. 
 
 
 
 
Função seno: É a função f: R R que, a cada número real x, associa o seno desse número: →
 
 f: RÆ R 
 x Æ y = f(x) = sen x (leia-se: f de x é igual a seno de x) 
 
 
O domínio dessa função é o conjunto\ , e a imagem é Im = [-1, 1]. 
 
 
Sinal da função seno: 
 
Como o seno de x é a ordenada do ponto-
extremidade do arco, A função 
 
• y = sen x é positiva no 1º e 2º quadrantes; e 
• y = sen x é negativa no 3º e 4º quadrantes. 
 
 
 
 
Exercício 1: Calcule os valores de: 30, , , 2 .
2 2
sen sen sen sen e senπ ππ π (Veja a figura a seguir) 
 
 
 
Exercício 2: Determine os sinais de: sen 30º, sen 130º, sen 220° e sen 330º. 
 
 
 
 
Gráfico da função seno (y = sen x) 
 
Para se construir o gráfico da função seno, você deve localizar inicialmente, na circunferência 
trigonométrica, alguns arcos e determinar o valor dos seus senos. 
 
 
 
 
Marcando esses valores no Plano cartesiano, vamos construir o gráfico da função y = sen x. 
 
 
Co-seno de um arco: Associando cada nº real x a um arco pAP da circunferência trigonométrica, com origem 
no ponto A(0,1) e extremidade em um ponto P tal que med(pAP ) = x rad, dizemos que o co-seno do arco x é a 
abscissa OP2 do ponto P. 
 
 
 
 
 
Função co-seno: É a função f: ℜ ℜ que, a cada número real x, associa o co-seno desse número: →
 
f: \Æ \
 x y = f(x) = cos x (leia-se: f de x é igual a co-seno de x) 6
 
 
O domínio dessa função é o conjuntoℜ , e a imagem é Im = [-1, 1]. 
 
 
Sinal da função co-seno: 
 
Como o seno de x é a ordenada do ponto-extremidade do arco, a função 
 
• y = cos x é positiva no 1º e 4º quadrantes; e 
• y = cos x é negativa no 2º e 3º quadrantes. 
 
 
 
Ex. 3) Calcule os valores de: 3cos 0, cos , cos , cos cos 2 .
2 2
eπ ππ π 
Ex. 4) Determine os sinais de: cos 30º, cos 120º, cos 210º, cos 300º e cos 900º. Veja a figura abaixo, em que 
está resolvido o cos 900º. 
 
 
 
Ex.5) Calcule o valor da expressão 2cos cos 2 cos
3 3
π ππ+ + . 
 
 
Gráfico da função cos-seno (y = cos x) 
 
 
 Para construir o gráfico da função co-seno, nós devemos, inicialmente, localizar na circunferência 
trigonométrica, alguns arcos e, em seguida, determinar o valor do seu co-seno. 
 
 
 
 
 
Marcando esses valores no plano, construímos o gráfico da função y = cos x. 
 
 
 
 
É fácil ver que os valores do 1º quadrante são simétricos em relação aos do 4° quadrante, e os valores do 2º 
quadrante são simétricos aos do 3º. 
 
Exercício 6) Esboce os gráficos das funções seno de x e co-seno de x (y = sen x e y = cos x). 
 
Ex.7) Dê o valor de: 
 
 
 
 
Ex.8) Calcule o valor de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.9) Dê o valor de: 
 
 
 
 
Ex. 9) Trace os gráficos de: a) y = cos 2x b) y = cos x/2 c) y = sen 2x d) y = sen x/2