Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V. a) Mostre que U n W também é um subespaço de V. b) Seja Se W é o subespaço gerado por (1,0,0) e U é su...

a) Para mostrar que U ∩ W é um subespaço de V, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades de um subespaço vetorial: 1. O vetor nulo pertence a U ∩ W. 2. Se u e v pertencem a U ∩ W, então u + v também pertence a U ∩ W. 3. Se k é um escalar e u pertence a U ∩ W, então ku também pertence a U ∩ W. 1. O vetor nulo pertence a U e W, portanto, pertence a U ∩ W. 2. Se u e v pertencem a U ∩ W, então u e v pertencem a U e W. Como U e W são subespaços, u + v também pertence a U e W, e portanto, pertence a U ∩ W. 3. Se k é um escalar e u pertence a U ∩ W, então u pertence a U e W. Como U e W são subespaços, ku também pertence a U e W, e portanto, pertence a U ∩ W. Portanto, U ∩ W é um subespaço de V. b) Para verificar se V = U + W, precisamos verificar se todo vetor em V pode ser escrito como a soma de um vetor em U e um vetor em W. Podemos fazer isso verificando se a base de U e a base de W geram V. A base de W é {(1,0,0)}. Qualquer vetor em W é um múltiplo escalar de (1,0,0). A base de U é {(1,1,0), (0,1,1)}. Podemos escrever qualquer vetor em U como uma combinação linear desses vetores. Agora, vamos verificar se a base de U e a base de W geram V. Qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação linear de (1,1,0), (0,1,1) e (1,0,0): (a,b,c) = x(1,1,0) + y(0,1,1) + z(1,0,0) Resolvendo o sistema de equações, encontramos: x = (a - b + c)/2 y = (b - c)/2 z = (a + c)/2 Portanto, todo vetor em V pode ser escrito como a soma de um vetor em U e um vetor em W. Logo, V = U + W.