Considerando F(x,y) = x²y³ i + x³y² j, C: r(t) = (t³ + 2t)j, 0≤t≤1, temos que a integral do gragiente f . dr = -9?

Para calcular a integral do gradiente de F(x,y) ao longo da curva C, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o gradiente de F(x,y): grad(F) = (2xy³)i + (3x²y²)j 2. Substituir a curva C na expressão do gradiente: grad(F) . dr = (2xy³)i + (3x²y²)j . (3t² + 2)j grad(F) . dr = 6t²y³ + 4xy³ + 9t²x³y² 3. Integrar a expressão resultante ao longo da curva C: ∫grad(F) . dr = ∫[6t²y³ + 4xy³ + 9t²x³y²]dt, de 0 a 1 ∫grad(F) . dr = 2y³ + x⁴ + 3x²y², de 0 a 1 4. Substituir os limites de integração e calcular a integral: ∫grad(F) . dr = [2(1)³ + (1)⁴ + 3(1)²(1)²] - [2(0)³ + (0)⁴ + 3(0)²(0)²] ∫grad(F) . dr = 6 Portanto, a integral do gradiente de F(x,y) ao longo da curva C é igual a 6, e não -9.