Calcular a integral dupla∫∫ (x + 1) dA delimitada pela região dada por y < 2x 2 + 1 e y > x - 2.

Para calcular a integral dupla ∫∫(x+1)dA delimitada pela região dada por y < 2x²+1 e y > x-2, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os limites de integração para x e y: y = 2x² + 1 y = x - 2 2x² + 1 = x - 2 2x² - x + 3 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x = (1 ± √17)/4 Como y < 2x² + 1 e y > x - 2, os limites de integração para y são: x - 2 < y < 2x² + 1 2. Escrever a integral dupla: ∫∫(x+1)dA = ∫(1 + ∫(x+1)dy)dx 3. Calcular a integral interna em relação a y: ∫(x+1)dy = y(x+1) + C 4. Substituir os limites de integração para y: ∫(x+1)dy = (2x² + 1)(x+1) - (x-2)(x+1) = 3x² + 3x - 1 5. Substituir na integral dupla: ∫∫(x+1)dA = ∫(1 + 3x² + 3x - 1)dx = ∫(3x² + 3x)dx 6. Calcular a integral em relação a x: ∫(3x² + 3x)dx = x³ + (3/2)x² + C 7. Substituir os limites de integração para x: ∫(3x² + 3x)dx = [(1 + √17)/4]³ + (3/2)[(1 + √17)/4]² - [(-1 + √17)/4]³ - (3/2)[(-1 + √17)/4]² 8. Calcular o valor da integral: ∫∫(x+1)dA = (3√17 - 13)/12