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CÁLCULO III Gilvan Lima de Oliveira Matemática UNIVERSIDADE ABERTA DO PIAUÍ UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Programa de Educação à Distância Copyright © 2010. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do Piauí (UFPI). Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor. Catalogação na publicação por: XXXX OLIVEIRA, G. L. Cálculo III - Física/Gilvan Lima de Oliveira – Teresina: UFPI/UAPI 2010. 149p. Incluir bibliografia 1 – xx CDU: ???? PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ Antônio José Medeiros SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EAD Hélio Chaves COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes SUPERINTENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonça DIRETOR DO CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO NA MODALIDADE EAD João Benício de Melo Neto CHEFE DO DEPARTAMENTO Paulo Alexandre de Araújo Sousa COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira Universidade Federal do Piauí 4 C á l c u l o I I I ÍNDICE GERAL Apresentação UNIDADE 1: Funções de Várias Variáveis Reais 1.1 Introdução 1.2. Funções de Várias Variáveis Reais 1.3. Domínio 1.4. Gráfico 1.5. Atividades Resolvidas 1.6. Atividades de Aprendizagem UNIDADE 2: Limite e Continuidade 2.1 Introdução 2.2. Limite de uma Função 2.2.1. Definição 2.2.2. Limites Iterados 2.2.3. Propriedades Operatórias 2.3. Continuidade 2.3.1. Definição 2.3.2. Propriedades Operatórias 2.4. Atividades Resolvidas 2.5 Atividades de Aprendizagem UNIDADE 3: Derivação Múltipla 3.1. Introdução 3.2. Derivadas Parciais 3.3. Derivadas Direcionais 3.4. Diferencial de uma Função 3.4.1. O Gradiente de uma Função Diferenciável Universidade Federal do Piauí 5 C á l c u l o I I I 3.4.2. Propriedades do Vetor Gradiente 3.5. Acréscimo Total de uma Função 3.6. Diferencial Total de uma Função 3.7. Aplicação da Diferencial Total em Aproximações 3.8. Derivação de Funções Compostas 3.8.1. Caso de uma só Variável Independente 3.8.2. Caso de Diversas Variáveis Independentes 3.9. Curvas de Nível e Superfícies de Nível 3.9.1. Interpretação Geométrica da Curva de Nível 3.9.2. Coeficiente Angular da Curva de Nível 3.10. Derivadas Parciais de Ordens Superiores 3.11. Máximos e Mínimos Relativos 3.12. Multiplicadores de Lagrange 3.13. Atividades de Aprendizagem UNIDADE 4: Integração Múltipla 4.1. Introdução 4.2. Integrais Duplas 4.3. Mudança de Variáveis em Integração Dupla 4.4. Cálculo de Volumes 4.5. Aplicações em Cálculo de Áreas de Figuras Planas 4.6. Integrais Triplas 4.7. Mudança de Variáveis em Integração Tripla 4.8. Integrais Curvilíneas 4.8.1. Integrais Curvilíneas de Primeira Espécie 4.8.2. Integrais Curvilíneas de Segunda Espécie 4.8.3. Diferencial Exata 4.8.4. Fórmula de Green (no plano) 4.8.5. Integrais Curvilíneas e Cálculo de Áreas 4.9. Atividades de Aprendizagem Universidade Federal do Piauí 6 C á l c u l o I I I UNIDADE 5: Integrais de Superfície 5.1. Introdução 5.2. Representação de uma Superfície 5.3. Área de uma Superfície 5.4. Integrais de Superfícies de um Campo Escalar 5.5. Integrais de Superfícies de um Campo de Vetores 5.6. Teorema de Stokes 5.7. Teorema de Gauss 5.8. Atividades de Aprendizagem Universidade Federal do Piauí 7 C á l c u l o I I I APRESENTAÇÃO Esta apostila destina-se aos estudantes que participam do programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Instituto Federal do Piauí (IFPI), com apoio do Governo do Estado do Piauí, através da Secretaria Estadual de Educação. O texto é composto de V unidades, contendo itens e subitens, de modo que: Na Unidade 1, estudaremos as funções reais de várias variáveis. Estas surgem naturalmente como resultado da modelagem matemática de inúmeras situações práticas vivenciadas pelo Matemático, Físico, Químico, Engenheiro Civil, Engenheiro Mecânico, Contador, Administrador, etc. Na Unidade 2, discutiremos a noção de limite e continuidade de funções de várias variáveis reais com valores no conjunto dos números reais. Daremos a definição matemáticamente correta da noção de limite, porém o objetivo principal desta apostila é fazer uso da noção de limite e calcular, sem se preoculpar com demonstrações matemáticas, o limite pontual da função em questão. Para tal, enunciaremos as propriedades operatórias e faremos uso das mesmas na resolução de problemas. Na Unidade 3, estenderemos a noção de derivadas estudada anteriormente para função real de variável real. Discutiremos a noção de derivadas parciais e, em seguida, abordaremos a noção de derivadas direcionais, a qual se constitui na noção mais geral de derivada de uma função real de várias variáveis reais. Em seguida, estudaremos as noções de máximos e mínimos destas funções, bem como a determinação dos mesmos. Na Unidade 4, abordaremos o conceito de integrais múltiplas e integrais sobre curvas, denominadas de integrais curvilíneas. Da mesma forma como no caso das derivadas, estas idéias a serem apresentadas fornecem uma extensão das idéias estudadas nas integrais das funções reais de uma variável real. Universidade Federal do Piauí 8 C á l c u l o I I I Na Unidade 5, trataremos do caso das integrais em superfícies. Estas generalizam as noções estudadas na Unidade 4 dessa apostila. O objetivo principal dessa unidade é estudarmos o Teorema de Stokes e suas aplicações. Universidade Federal do Piauí 9 C á l c u l o I I I UNIDADE 1 Funções de Várias Variáveis Reais Universidade Federal do Piauí 10 C á l c u l o I I I ÍNDICE UNIDADE 1: Funções de Várias Variáveis Reais 1.1. Introdução 1.2. Funções de Várias Variáveis Reais 1.3. Domínio 1.4. Gráfico 1.5. Atividade de Aprendizagem Universidade Federal do Piauí 11 C á l c ul o I I I UNIDADE I: Funções de Várias Variáveis Reais Universidade Federal do Piauí 12 C á l c u l o I I I RESUMO Nesta unidade introduziremos de forma clara e sucinta as noções de funções de diversas variáveis reais. A necessidade de se estudá-las surge de forma bastante natural de várias situações práticas do nosso dia-a-dia. A necessidade de se otimizar o lucro de uma empresa é função de diversas variáveis: número de operários dessa empresa, o salário de cada operário, o que a empresa arrecada, o que ela produz, etc. Enfim, são vários os fatores que devemos levar em consideração para garantirmos que essa empresa tenha uma margem de lucro ótimo aceitável. Por uma questão de simplificação do conceito a ser estudado, nos restringiremos mais às funções definidas em subconjuntos do plano euclideano ou do espaço tridimensional. Universidade Federal do Piauí 13 C á l c u l o I I I 1.1. Introdução A necessidade de se trabalhar com funções de várias variáveis é algo inevitável. Ela surge naturalmente desde a busca por se entender fenômenos físicos considerados simples na natureza até a administração complexa de uma grande empresa. Por exemplo, na primeira situação, a velocidade de deslocamento de uma partícula numa trajetória retilínea a uma velocidade constante, a incidência de luz num corpo sólido e muitas outras sitações. Na outra situação, sabemos que o lucro de uma empresa depende de vários fatores como: número de funcionários, salários desses funcionários, o capital investido pela empresa, enfim, o lucro da empresa dependerá de muitas variáveis que o administrador deve levar em consideração. A idéia em todas essas situações é modelar matematicamente a situação que se quer estudar e lançar mão de tudo que for possível dessa noção matemática fabulosa que é a de função. Nessa unidade abordaremos as noções básicas de funções de várias variáves reais com valores no conjunto dos números reais. 1.2. Funções de Várias Variáveis Reais Seja n um número natural, o qual vamor supor 2n . Uma grandeza variável z se denomina função de n variáveis reais 1x , 2x , ... , nx , se a cada vetor ( ) nnxxx ,,, 21 , corresponde um único valor real de z . Nesse caso, os números reais 1x , 2x , ... , nx são ditos variáves independentes e z a variável dependente. A notação que usaremos para representar tal dependência funcional será: ( ) = nxxxfz ,,, 21 Você sabe o que é SBM? Fundada em 1969, durante a realização do VII Colóquio Brasileiro de Matemática, em Poços de Caldas, a SBM é uma entidade civil, de caráter cultural e sem fins lucrativos voltada principalmente para estimular o desenvolvimento da pesquisa e do ensino da Matemática no Brasil. Entre suas ações atuais destacam-se: o estímulo ao ensino de qualidade em todos os níveis, através da produção e divulgação de textos matemáticos; a promoção de reuniões científicas periódicas e o incentivo ao intercâmbio entre profissionais de Matemática do Brasil e do exterior. Fonte: SBM Acesse o site: www.sbm.org.br Universidade Federal do Piauí 14 C á l c u l o I I I Ao longo dessa apostila, para efeito de simplificação e praticidade, trabalharemos, em geral, com funções de duas, ou três, variáveis. Mas, sempre que possível, para alguns conceitos a abordagem será feita de forma mais ampla. Exemplo 1. A área de um retângulo é expressa como funções das medidas dos seus dois lados, a saber, a base e a altura. Ou seja, se chamarmos de x a base do retângulo e y a altura, retângulo. Exemplo 2. Consideremos um cone cuja medida da geratriz é denotada por x e o raio da base por y . Então, podemos expressar o volume desse cone em função de x e y ; de fato, como sabemos do ensino médio, a fórmula para o cálculo do volume desse sólido é dada por: hyV 2 3 1 = onde h representa a medida da altura desse cone. Conforme a figura abaixo, temos que: 222 yhx += , ou seja, 22 yxh −= Portanto, segue-se que: ( ) 222 3 1 , yxyyxV −= Figura 1 Universidade Federal do Piauí 15 C á l c u l o I I I O valor da função ( )yxfz ,= no ponto ( )baP ,= , será designado por ( )baf , ou ( )Pf . A representação geométrica da função ( )yxfz ,= no sistema de coordenadas cartesianas é uma superfície em 3 , conforme figura abaixo. Figura 2 Exemplo 3. Dada a função ( ) xy yx yxf 3 , 22 − = determinar: (a) ( )1,2−f (b) x y y x f , Solução: (a) ( ) ( ) ( ) 2 1 6 3 123 12 1,2 22 −= − = − −− =−f (b) Nesse caso, fazendo as devidas substituições teremos: Universidade Federal do Piauí 16 C á l c u l o I I I 3 3 , 2 2 2 22 2 x y y x x y y x x y y x x y y x f − = − = portanto, 22 44 3 , yx yx x y y x f − = 1.3. Domínio Como sabemos do ensino médio, o domínio de uma função correponde ao conjunto no qual a variável dependente pertence e que faz sentido obtermos a imagem de qualquer ponto ali existente. Como não poderia deixar de ser, é essa a mesma concepção que trazemos para função de várias variáveis reais. Ou seja, para uma função → nDf : , o domínio de f é o conjunto D formado pelos vetores ( ) nnxxxx = ,,, 21 tais que o valor ( ) = xfz é um valor determinado. A imagem é composta pelos pontos z , para os quais existem ( ) nn Dxxxx = ,,, 21 tal que ( )xfz = , isto é: ( ) ( ) xfzondeDxzf == ;Im . Exemplo 4. Determinar o domínio da função 22 1 yx z + = Solução: Ora, a soma 022 + yx . Uma vez que o denominador não pode anular-se, temos obrigatoriamente que 022 + yx , ou seja, ( ) ( )0,0, yx . Logo, o domínio dessa função será: ( ) ( ) 0,00;, 2222 −=+= yxyxD Exemplo 5. Determinar o domínio da função 221 yxz −−= Solução: Nesse caso, devemos ter Universidade Federal do Piauí 17 C á l c u l o I I I 101 2222 +−− yxyx Ou seja, o domínio será: ( ) 1;, 222 += yxyxD que corresponde ao disco fechado centrado na origem e de raio 1 Figura 3 1.4. Gráfico Definição. Seja ( )yxfz ,= uma função definida no subconjunto 2D . O gráfico de ( )yxfz ,= é um subconjunto de 3 definido como segue: ( ) ( ) yxfzzyxG ,;,, 3 == Figura 04 O que costumamos chamar de gráfico de uma função é sua representação geométrica. Mas não é bem assim, o gráfico O que são gráficos? São elementos matemáticos que causam impacto visual capazes de mostrar informações não evidentes nas expressões algébricas ou verbais. Universidade Federal do Piauí 18 C á l c u l o I I I é um conjuntoque possui uma estrutura matemática de superfície. Mas não vamos nos aprofundar nesse tocante, pois isso foge aos objetivos dessa apostila. Exemplo 6. O esboço gráfico da função →2:f definida pela lei ( ) yxyxf 32, += é um plano em 3 , que passa pela origem e que tem como normal o vetor ( )3,2=n . Figura 05 Exemplo 7. O esboço gráfico da função →2:f definida pela lei ( ) 22, yxyxf += é uma superfície de revolução chamada de parabolóide. Figura 06 MathGV 3.1 Traçador de gráficos que representam funções matemáticas. Ficha técnica: Nome: MathGV 3.1 Fabricante: Greg VanMullem Licença: Freeware Tamanho: 1,36 MB Língua: Inglês Classificação: Ciências Tags: Ciência Lançamento: 05/12/2001 Sistemas compatíveis: Roda em Windows 95/98/Me/NT4/2000. Universidade Federal do Piauí 19 C á l c u l o I I I Exemplo 8. O esboço gráfico da função →2:f definida pela lei ( ) xyyxf =, é um hiperbolóide, comumente conhecida como a “sela do cavalo”. Figura 07 1.5 Atividades Resolvidas 1. Ache o domíno da função ( ) xyyxf −=, . 2. Uma função →Af : , 2A , denomina-se função homogênea de grau se ),(),( yxfttytxf = para todo 0t e para todo Ayx ),( tais que Atytx ),( . Com base na definição supracitada verifique se a função 22 53),( yxyxyxf ++= é homogênea. Em caso afirmativo, determine o seu grau. É sabido que a maior parte dos alunos só se lembra de estudar nas vésperas dos testes, gerando complicações. O planejamento do horário de estudo constitui uma forma eficaz de aprendizagem e sucesso escolar. Planeje seu horário!!! Solução: A condição de existência dessa função é 0− xy . Logo, o seu domínio é }0/),{( 2 −= xyyxD Solução: Pela definição temos que, a função dada deverá escrita como: 22 )())((5)(3),( tytytxtxtytxf ++= 22222 53),( ytxytxttytxf ++= )53(),( 222 yxyxttytxf ++= , ou seja ),(),( 2 yxfttytxf = Portanto, a função dada é homogênea de grau 2= . Universidade Federal do Piauí 20 C á l c u l o I I I 3. Represente graficamente a função yxyxf 326),( +−= . Solução: Esta função pode ser escrita na forma que é a equação de um plano. Para encontrar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer: e obtendo e obtendo e obtendo Portanto o gráfico de é: Universidade Federal do Piauí 21 C á l c u l o I I I 1.6. Atividades de Aprendizagem Expressar o volume V de uma pirâmide quadrangular regular como função de sua altura x e de sua aresta lateral y . 1. Seja S um tronco de pirâmide hexagonal regular de lados x e y e cuja altura é z . Expressar a área da superfície lateral desse tronco de pirâmide, como função de x , y e z . 2. Calcule ( )1,3,2 −f , sendo ( ) zs yr zyxf − + = 53 ,, 2. 3. Dada a função ( ) xy yx yxf 22 , + = , obter: a) ( )xyf −− , b) yx f 1 , 1 c) ( )1,−xyf 4. Seja ( ) yxyxf 23, += . Calcule: a) h yxfyhxf ),(),( −+ b) k yxfkyxf ),(),( −+ 5. Determinar os domínios das funções abaixo: a) ( ) 3 22, yxyxf −= e) ( ) xyzzyxf =,, b) ( ) ( )xy xy yxf ln 12 , + = f) ( ) zyxzyxf ++=,, c) ( ) y x senarcyxf =, g) ( ) ( )xyzzyxf ln,, = d) ( ) xyyx yxf 11 , + − = h) ( ) 2221,, zyxzyxf −−−= 6. Seja yx yx yxf 2 ),( + − = a) Determine o domínio. b) Calcule ),2( uvvuf −+ . Universidade Federal do Piauí 22 C á l c u l o I I I 7. Faça o esboço gráfico das funções: a) ( ) yxyxf += 3, b) ( ) 22, yxyxf −= 8. Determinar a expressão da função real de variável real ( )xf , se admitirmos que ( )0, 22 + = xy y yx x y f 9. Achar ( )yxf , , supondo que: ( ) 2, yxyyxyxf +=−+ 10. Se f for uma função com uma variável e g uma função de duas variáveis, então a composição gf será a função de duas variáveis definida por )),((),)(( yxgfyxgf = . Qual será o domínio de gf ? 11. Dada a função ttf ln)( = e yxyxg −= 2),( , encontre gfh = . 12. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade. a) 33 23 2 ),( yx xyx yxf − + = b) 44),( yxyxf += 13. Suponha que →2:f seja homogênea do grau 2 e abaf =),( para todo ),( ba , com 122 =+ ba . Calcule: a) )4,34(f b) ),( yxf , )0,0(),( yx 14. A função 52),( ++= yxyxf não é homogênea. Por quê? Universidade Federal do Piauí 23 C á l c u l o I I I UNIDADE 2 Limite e Continuidade Universidade Federal do Piauí 24 C á l c u l o I I I ÍNDICE UNIDADE 2: Limite e Continuidade 2.1. Introdução 2.2. Limite de uma Função 2.2.1. Definição 2.2.2. Limites Iterados 2.2.3. Propriedades Operatórias 2.3. Continuidade 2.3.1. Definição 2.3.2. Propriedades Operatórias 2.4. Atividades de Aprendizagem Universidade Federal do Piauí 25 C á l c u l o I I I UNIDADE 2: Limite e Continuidade Universidade Federal do Piauí 26 C á l c u l o I I I RESUMO Nesta unidade, trabalharemos com um dos conceitos mais importantes na Matemática, a saber, a noção de Limite. Este conceito é fundamental para o bom entendimento de continuidade, derivadas e integrais. A definição de limite é algo bastante formal e bem elaborada. A ela está intimamente associada a noção de continuidade. As duas noções trazem em sua essência uma diferença básica e importante; na noção de limite, a verificação da existência do mesmo, em geral, é feita num ponto que não, necessariamente, pertence ao domínio da função. Enquanto que ao estudarmos continuidade, é necessário que o ponto em questão deva pertencer ao domínio da mesma. Mas como o propósito maior dessa apostila é o entendimento do alunado de Matemática, tais noções serão introduzidas sem muito rigor matemático, porém de forma conceituadamente correta. 2.1. Introdução Universidade Federal do Piauí 27 C á l c u l o I I I Nesta seção introduziremos a noção de limite de uma função num ponto. Tal noção está intimamente relacionada com a noção intuitiva de “estar próximo”. Nos prevaleceremos dessa noção de “estar próximo” para definirmoslimite de uma função num ponto, por entendermos que a mesma é de um alcance maior, no que diz respeito a aprendizagem dos leitores. E, como dissemos anteriormente, a verificação da continuidade de uma função num ponto de seu domínio, é conseqüência imediata da idéia de limite. 2.2. Limite de uma Função 2.2.1. Definição: Diz-se que o número real L é o limite da função ),( yxfz = , quando o ponto ),( yxP = tende para o ponto ),(0 baP = se, e somente se, para qualquer número 0 , estabelecido a priori, existe um 0 tal que, para todo ),( yxP = satisfazendo, −+− 22 )()(0 byax , tivermos que: − |),(| Lyxf . Nesse caso, escreveremos: Lyxf by ax = → → ),(lim Na prática, o que se está afirmando é que as imagens dos pontos, do domínio de ),( yxfz = , suficientemente próximos de ),(0 baP = , estão arbitrariamente próximas de L . Mas nessa apostila, não estamos preoculpados em trabalharmos com tal definição matemática formal, porém desejamos saber calcular limites de funções de várias variáveis, quando esses existem. Notação: Universidade Federal do Piauí 28 C á l c u l o I I I A notação que utilizaremos doravante para representar o limite de uma função ),( yxfz = , no ponto ),(0 baP = , será: ( ) Lyxf by ax = → → ,lim Exemplo 1. Considere a função →2:f , definida pela regra: = + = )2,1(),(,0 )2,1(),(,3 ),( yx yxyx yxf Quando 1→x e 2→y , temos que ( ) ( ) 5213),( =+→yxf e, dessa forma, suspeitamos que 5),(lim 2 1 = → → yxf y x . A demonstração desse fato, faz-se utilizando a definição mostrada acima. Vamos mostrar tal limite para que o aluno tenha uma idéia de como se trabalha com essa definição. Muito bem, a idéia é começarmos considerando um número real 0 qualquer. Em seguida, devemos mostrar que existe (se possível exibi-lo) um número 0 , tal que: −+−+− 53)2()1(0 22 yxyx ; de fato, inicialmente observamos que: ( ) ( )22 211 −+−− yxx e ( ) ( )22 212 −+−− yxy Por outro lado, 213)2()1(353 −+−−+−=−+ yxyxyx Daí, segue-se que: ( ) ( )22 21421353 −+−−+−−+ yxyxyx Logo, dado 0 , escolhendo 4 0 = , tem-se que: ( ) ( ) =−+−−+ 4 421453 22 yxyx Isso mostra que 5),(lim 2 1 = → → yxf y x . Nesse caso, observe que 0)2,1(5),(lim 2 1 == → → fyxf y x Exemplo 2. Mostre que: Desigualdade Triangular Quaisquer que sejam os números reais x e y , tem-se: yxyx ++ . Universidade Federal do Piauí 29 C á l c u l o I I I 0)(lim 0 4 = → → senxy y x Solução: De fato, do fato que 1xsen , resulta: 2 2 4 yxyxseny + − Portanto, dado 0 , escolhendo =0 , segue-se que se: =+ − xsenyyx 2 2 4 0 Observe que para o limite Lyxf by ax = → → ),(lim existir, deve-se ter o mesmo valor independentemente da maneira como o ponto ),( yxP = se aproxima do ponto correspondem a valores diferentes para o mesmo limite, este não pode existir. Isso implica, como no caso de funções de uma variável real, que se um limite existe, então ele é único. Exemplo 3. Discuta a existência do limite: 22 0 0 2 lim yx xy y x + → → Solução: Nesse caso, para qualquer caminho escolhido devemos ter: 0→x e 0→y ; porém, se escolhermos o caminho xy = , teremos: 1 2 2 lim 2 lim 2 2 022 0 0 == + → → → x x yx xy x y x . Por outro lado, se escolhermos o caminho xy −= , teremos: 1 2 2 lim 2 lim 2 2 022 0 0 −= − = + → → → x x yx xy x y x Assim sendo, o limite 22 0 0 2 lim yx xy y x + → → não existe. Observação Importante: www.uapi.ufpi.br Universidade Federal do Piauí 30 C á l c u l o I I I O fato do limite, ao longo de dois caminhos específicos, ser o mesmo, não é suficiente para garantirmos que tal limite exista e, valha o valor encontrado. A idéia mostrada acima no exemplo, é interessante para mostrarmos quando o limite deixa de existir. Para mostrar-mos que determinado limite exista, e vale determinado valor L , devemos utilizar a definição mostrada no início dessa seção. 2.2.2. Limites Iterados Os limites iterados ( ) yxf byax ,limlim →→ e ( ) yxf axby ,limlim →→ não são necessariamente iguais. Apesar de serem iguais (por exemplo, no caso em que ),(lim yxf by ax → → exista), sua igualdade não garante, de forma alguma, a existência desse último limite. O certo é que se os limites iterados forem distintos, pode-se afirmar que ),(lim yxf by ax → → não existe. Exemplo 4. Considere a função dada pela lei: ( ) yx yx yxf + − =, , definida no conjunto: ( ) 0;, 2 += yxyxD . Então, ( ) 11limlimlim 000 −=−= + − →→→ xyx yx yx e ( ) 11limlimlim 000 == + − →→→ xxy yx yx Dessa forma os limites iterados são distintos e, portanto, o limite: yx yx y x + − → → 0 0 lim não pode existir. Universidade Federal do Piauí 31 C á l c u l o I I I 2.2.3. Propriedades Operatórias Para efeito de simplificar mais os cálculos envolvendo limites, vamos listar algumas propriedades operatórias que serão de grande valia para o leitor: Teorema: Sejam → 2:, Dgf funções e 2 0 ),( = baP tais que existam os limites: Lyxf by ax = → → ),(lim e Myxg by ax = → → ),(lim Então as funções gf + , gf − , gf e g f admitem limite no ponto DbaP = ),(0 e, além disso, vale: • ( ) ;),(lim),(lim),(lim MLyxgyxfyxgf by ax by ax by ax +=+=+ → → → → → → • ( ) ;),(lim),(lim),(lim MLyxgyxfyxgf by ax by ax by ax −=−=− → → → → → → • ( ) ;),(lim),(lim),(lim MLyxgyxfyxgf by ax by ax by ax == → → → → → → • )0(, ),(lim ),(lim ),(lim == → → → → → → M M L yxg yxf yx g f by ax by ax by ax . Para funções com mais de duas variáveis, com valores no campo dos números reais, o teorema acima continua válido fazendo-se as devidas modificações. 2.3. Continuidade 2.3.1. Definição: Diz-se que uma função ),( yxfz = é contínua num ponto ),(0 baP = , pertencente ao seu domínio se, e somente se, ),(),(lim bafyxf by ax = → → . Universidade Federal do Piauí 32 C á l c u l o I I I Diremos que a função ),( yxfz = é contínua em todo o seu domínio, quando a mesma for contínua em cada ponto do mesmo. Observação: É importante o leitor observar que, na definição de continuidade é necessário que o ponto no qual estamos verificando a continuidade, pertença ao domínio da função. Ao passo que na definição de limites não fazemos tal exigência. Na definição de limites, estamos apenas interessados no comportamento das imagens dospontos, que pertencem ao domínio da função ),( yxfz = , e que estão arbitrariamente próximos do ponto objeto ),(0 baP = . Enquanto que na continuidade, verificaremos se, para pontos ( )yxP ,= arbitrariamente próximos do ponto objeto ),(0 baP = , suas imagens ( ) ),( yxfPf = estão arbitrariamente próximas da imagem, por ),( yxfz = , do ponto ),(0 baP = , isto é, do número real ( )bafPf ,)( 0 = . Exemplo 1. A função →2:f dada por 232),( −+= yxyxf é contínua em todo o seu domínio; de fato, considerando ),( ba , um ponto arbitrário em 2 , temos claramente que: ),(232),(lim bafbayxf by ax =−+= → → Para mostrarmos essa afirmação, utilizando os s' e s' , procederemos da seguinte forma: dado 0 , devemos ser capazes de achar 0 , tal que, se − ),(),( bayx , então devemos ter − ),(),( bafyxf , isto é, ( ) ( ) −−−−+ 232232 bayx De fato, a última desigualdade é equivalente a: −+− )(3)(2 byax Por outro lado, se usarmos a distância euclideana, temos que: Universidade Federal do Piauí 33 C á l c u l o I I I ( ) ( )22 byaxax −+−− De forma inteiramente análoga, tem-se que: ( ) ( )22 byaxby −+−− Na desigualdade, −+− )(3)(2 byax , via Desigualdade Triangular, segue-se que: byaxbyax −+−−+− 32)(3)(2 Portanto, daí resulta: ( ) ( )225)(3)(2 byaxbyax −+−−+− Então, se estamos querendo que −+− )(3)(2 byax e, uma vez que, ( ) ( )225)(3)(2 byaxbyax −+−−+− , basta que façamos ( ) ( ) −+−−+− 225)(3)(2 byaxbyax , o que implica que: ( ) ( ) 5 ),(),( 22 −+−=− byaxbayx Portanto, dado 0 , tomando-se 0 satisfazendo 5 0 resulta que se − ),(),( bayx , então teremos sempre que: ( ) ( ) −−−−+ 232232 bayx . (ufa!!!) Fizemos questão de resolvermos essa questão para exibirmos o quão complicado é mostrar determinado limite via definição. Dependendo da expressão da função, essa demonstração pode tornar-se muito mais complicada. A Física faz, sabiamente, uso de resultado matemáticos comprovadamente corretos para desenvolver suas teorias. Assim sendo, para facilitar mais as coisas, lembremos que as propridades exibidas na seção de Limites, têm uma importância Universidade Federal do Piauí 34 C á l c u l o I I I fundamental nesse ponto. Ei-las no contexto de continuidade, as quais faremos uso sem nos preoculparmos com demonstrações: 2.3.2. Propriedades Operatórias Teorema: Sejam → 2:, Dgf funções contínuas no DbaP = ),( , isto é:: ),(),(lim bafyxf by ax = → → e ).(),(lim bagyxg by ax = → → Então as funções gf + , gf − , gf e g f também são contínuas em DbaP = ),( e, além disso, vale: • ( ) );,(),(),(lim),(lim),(lim bagbafyxgyxfyxgf by ax by ax by ax +=+=+ → → → → → → • ( ) );,(),(),(lim),(lim),(lim bagbafyxgyxfyxgf by ax by ax by ax −=−=− → → → → → → • ( ) );,(),(),(lim),(lim),(lim bagbafyxgyxfyxgf by ax by ax by ax == → → → → → → • )0),((, ),( ),( ),(lim ),(lim ),(lim == → → → → → → bag bag baf yxg yxf yx g f by ax by ax by ax Universidade Federal do Piauí 35 C á l c u l o I I I Exemplo 2. Consideremos agora a função dada pela lei yx xy yxf − + = 2 1 ),( Nesse caso, tanto o numerador como o denominador dessa fração, representam funções contínuas, pois são combinações de funções desse tipo. No entanto, a função perde seu sentido quando 2xy = , pois nesses pontos o denominador é nulo. Sendo assim, a função dada deixa de ser contínua em todos os pontos da forma ),( 2xx , c om x . Exemplo 3. A função definida por 22 ),( yx yx yxf + + = é um quociente de funções contínuas, portanto a mesma é contínua a menos nos pontos onde o denominador é nulo, ou seja, essa função é contínua no conjunto: ( ) 0;, 22 += yxyxD . Se uma função não for contínua em um ponto ),( ba , diremos que a mesma é descontínua nesse ponto, o qual chamar-se-á ponto de descontinuidade de f . por exemplo, a função →2:f , definida pela lei ( ) xyxyxf += 2, , para ( ) ( )0,0, yx e ( ) 10,0 =f , é descontínua no ponto )0,0( , uma vez que: ( ) ( ) ( ) ( ) 10,00,lim 0,0, == → fyxf yx . Universidade Federal do Piauí 36 C á l c u l o I I I 2.4. Atividades Resolvidas 1. Calcule, caso exista, .lim 22 0 0 + → → yx xy y x 2. Determine o subconjunto do plano euclideano no qual a função → 2: Df definida pela regra abaixo, é contínua: 25 1 ),( 22 −+ = yx yxf Solução: A função f está definida em todo so pontos do 2 , exceto em )0,0( . Seja 1S o conjunto de todos os pontos do eixo x e 2S o conjunto de todos os pontos da reta xy = . Então ( ) 0 0 0 lim)0,(lim,lim 200 0 0 = + == →→ → → x xfyxf xx y x , para 1),( Syx ( ) 2 1 2 1 limlim),(lim,lim 02 2 00 0 0 == + == →→→ → → xxx y x xx x xxfyxf , para 2),( Syx Como os limites existem e são distintos, temos que o limite ( )yxf y x ,lim 0 0 → → não existe. Solução: O domínio de f é o subconjunto 2D de todos os pontos 2),( yx tais que 2522 + yx . Geometricamente esse conjunto representa a região exterior limitada pela circunferêcia 2522 =+ yx . Universidade Federal do Piauí 37 C á l c u l o I I I 2.5. Atividades de Aprendizagem 1. Usando a definição de limite com e , prove que ( ) 3143lim 1 2 =+− → → yx y x 2. Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada limite abaixo, caso exista: a) ( ) → → x xysen y x 1 2 lim c) ( )22 1/1 1 0 lim −− → → yx y x e b) ( ) → → x xysen y x 1 0 lim d) + − → → 22 0 0 2 lim yx yx y x 3. Existe +− −+ → → → zyx zyx z y x 252 34 lim 0 0 0 ? Justifique sua resposta. 4. A função 22 22 ),( yx yx yxf + − = tem limite em )0,0( ? Justifique sua resposta. 5. Calcule ),( 2),(),( lim 0 0 kh kxhyxfkyhxf y x −−−++ → → onde yxyxf += 2),( . 6. Dê exemplo de duas funções f e g descontínuas, tais que a soma gf + seja contínua. 7. Dê exemplo de duas funções f e g descontínuas, tais que a função quociente g f seja contínua. 8. A função 2),( xyxf = é contínua em 2 . Justifique. 9. Represente graficamente os pontos de continuidade das seguintes funções: a) xyyxyxf −+= 22),( b) 1 ),( 22 − + = xy yx yxf Universidade Federal do Piauí 38 C á l c u lo I I I 10. Determine todos os pontos em que a função é contínua: a) ( ) 1 , 2 − = y x yxf b) ( ) yx x yxf − = 2 , 11. Em que pontos a função ( ) 221, yxyxf −−= é contínua? Represente graficamente seu domínio. 12. Mostrar que as funções seguintes são descontínuas em )0,0( . a) ( ) yx x yxf − =, b) ( ) )log(, 22 yxyxf += 13. Investigue a continuidade de cada uma das funções nos pontos indicados: a) ( ) ( )0,0, 53 , yx x yxf + = b) ( ) ( ) ,1, 22 22 + += yx senyxyxf para todo ( ) 2, yx 14. Mostre que a função ( ) =+ + += 0,0 0, 2 , 22 22 22 yx yx yx xy yxf é contínua em relação a cada uma das variáveis x e y em separado, porém não é contínua no ponto ( )0,0 em relação ao conjunto destas variáveis. Universidade Federal do Piauí 39 C á l c u l o I I I UNIDADE 3 Derivação Múltipla Universidade Federal do Piauí 40 C á l c u l o I I I ÍNDICE UNIDADE 3: Derivação Múltipla 3.1. Introdução 3.2. Derivadas Parciais 3.3. Derivadas Direcionais 3.4. Diferencial de uma Função 3.4.1. O Gradiente de uma Função Diferenciável 3.4.2. Propriedades do Vetor Gradiente 3.5. Acréscimo Total de uma Função 3.6. Diferencial Total de uma Função 3.7. Aplicação da Diferencial Total em Aproximações 3.8. Derivação de Funções Compostas 3.8.1. Caso de uma só Variável Independente 3.8.2. Caso de Diversas Variáveis Independentes 3.9. Curvas de Nível e Superfícies de Nível 3.9.1. Interpretação Geométrica da Curva de Nível 3.9.2. Coeficiente Angular da Curva de Nível 3.10. Derivadas Parciais de Ordens Superiores 3.11. Máximos e Mínimos Relativos 3.12. Multiplicadores de Lagrange 3.13. Atividades de Aprendizagem Universidade Federal do Piauí 41 C á l c u l o I I I UNIDADE 3: Derivação Múltipla Universidade Federal do Piauí 42 C á l c u l o I I I RESUMO Nesta unidade, discutiremos a noção de diferenciação de funções reais de várias variáveis reais. Esta é uma noção que tem uma importância imensa quando se quer estudar a taxa de variação de certas grandezas. Por exemplo, quando objetivamos calcular a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis mantendo-se fixa as demais variáveis independentes; este processo é conhecido como diferenciação parcial. Como vimos, para uma função real de variável real, com o uso das derivadas podemos calcular pontos de máximo, pontos de mínimo e até pontos de inflexão dessa função. Aqui o objetivo maior também é estender tais noções para funções de diversas variáveis. Universidade Federal do Piauí 43 C á l c u l o I I I 3.1. Introdução Neste capítulo, estenderemos a noção de derivadas ordinárias introduzida para função real de variável real. Em linhas gerais, a idéia é usar tal noção para uma das variáveis em estudo, mantendo-se constante as demais variáveis da função objeto. Tal procedimento será chamado de derivação parcial o qual discutiremos a seguir. 3.2. Derivadas Parciais Definição: Seja → 2: Df uma função real, definida num subconjunto aberto 2D . Dado o ponto DbaP = ),( , a derivada parcial de f , com respeito à variável x , no ponto ),( baP = , é o limite t bafbtaf ba x f t ),(),( lim),( 0 −+ = → , quando tal limite existe. De forma inteiramente análoga, a derivada parcial de f , com respeito à variável y , no ponto ),( baP = , é o limite t baftbaf ba y f t ),(),( lim),( 0 −+ = → , quando tal limite existe. O gráfico abaixo mostra a interpretação geométrica da derivada parcial de f , com respeito à variável x , no ponto ),( baP = . O leitor deve observar que o plano by = intersecta a superfície ( )yxfz ,= dando origem a uma reta exibida na figura, e que o número ),( ba x f representa o coeficiente angular dessa reta. Esta belíssima ilustração encontra-se na referência [Elon]. Universidade Federal do Piauí 44 C á l c u l o I I I Observação: 1. Para designar as derivadas parciais definidas acima, podemos fazê-lo de várias formas, como segue: ),(),('),(),( 11 bafDbafbafba x f x === . 2. Na definição acima, para o cálculo da derivada ),( ba x f , derivamos a função com respeito à variável x , enquanto que a variável y é considerada constante. Fato semelhante ocorre, na obtenção da derivada ),( ba y f , só que nesse caso, deriva-se a função com respeito à variável y , enquanto que a variável x é mantida constante. Exemplo 4. Obtenha as derivadas parciais da função = y x tgyxf ),( Solução: Considerando-se y uma grandeza constante, teremos: ( ) y y x yx x f 1 cos 1 , 2 = Universidade Federal do Piauí 45 C á l c u l o I I I Analogamente, considerando x uma grandeza constante, teremos: ( ) − = 2 2cos 1 , y x y x yx y f Caso Geral No caso geral, para uma função → nDf : definida num subconjunto aberto nD , dado o ponto Da , a i-ésima derivada parcial de f , no ponto a (onde )1 ni é o limite t afteaf x f i t i )()( lim 0 −+ = → quando tal limite existe. Observação: Como está escrito no livro “Curso de Análise”, vol 2, do Prof. Elon Lages Lima, o símbolo ix f terá para nós o mesmo significado que iy f , iz f , etc. O que é importante neles não é o “nome” da variável, que tanto pode ser x , como pode ser y ou z , etc. O que devemos levar em consideração é o índice i . Esse índice se refere à derivada de f em relação à sua i -ésima variável, seja qual for o sinal usado para indicá-la. Nesses termos, o Prof. Elon, deixa claro que a melhor notação para a i -ésima derivada parcial seria fi , porém a notação ix f continua sendo mais utilizada por uma questão de tradição. Portanto, também adotaremos essa convenção. Exemplo 5. Achar as derivadas parciais da função de três variáveis xyzzyyxzyxf ++= 223),,( . Solução: Aqui teremos: Universidade Federal do Piauí 46 C á l c u l o I I I xyzy z f xzyzx y f yzyx x f += ++= += 2 23 2 2 2 3 Exemplo 6. Achar as derivadas parciais da função yxyxf =),( . Solução: xx y f yx x f y y ln 1 = = − Exemplo 7. Se )ln(),,( zxyzyxf += , determinar o valor da expressão: ( ) ( ) ( ).0;2;10;2;10;2;1z f y f x f + + Solução: Para o cálculo do valor da expressão, vamos achar as derivadas solicitadas em cada parcela da expressão dada: ( ) ( ) ( ) zxy zyx z f zxy x zyx y f zxy y zyx x f + = + = + = 1 ,, ,, ,, Portanto, o valor da expressão será: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 10;2;10;2;10;2;1 =++= + + z f y f x f Exemplo 8. Se cosrx = e senry = , calcular o valor do determinante: y r y x r x Solução: Inicialmente, observemos que: Elon Lages Lima (Maceió, 9 de julho de 1929) é um professor brasileiro, mestre e doutor (PhD) pela Universidade de Chicago, ganhador por duas vezes do Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro por livros que escreveu e recebeu o prêmio Anísio Teixeira do Ministério da Educação e do Desporto. Saiba mais: http://pt.wikipedia.org/w iki/Elon_Lages_Lima Universidade Federal do Piauí 47 C á l c u l o I I I cos cos r y sen r y senr x r x = = −= = Daí o valor da determinante será: ( ) ( ) rsensenrr r yxy r x =−−= − coscos 3.3. Derivadas Direcionais Como podemos perceber pela definição, as derivadas parciais fornecem informações sobre a função somente ao longo de retas paralelas aos eixos. E se quiséssemos saber informações da função ao longo de outras direções, como procederíamos? Isto nos leva ao importante conceito de derivada direcional. Vamos nos dar ao luxo de enunciar a definição geral de derivada direcional uma vez que o leitor não terá dificuldades em entendê-la. Definição: Sejam → nDf : uma função definida no aberto nD , Da e nv . A derivada direcional de f no ponto a , segundo o vetor v , é, por definição, o limite ( ) ( ) ( ) t aftvaf a v f t −+ = →0 lim quando tal limite existe. A derivada direcional generaliza a noção de derivadas parciais. Com efeito, na definição de derivadas direcionais, se fizermos iev = , obteremos: ( ) ( ) ( ) ( )a x f t afteaf a e f i i t i = −+ = →0 lim A maioria dos livros de Cálculo, quando vão definir derivada direcional, o fazem supondo 1=v . Isso é Universidade Federal do Piauí 48 C á l c u l o I I I desnecessário, uma vez que ( )a v f depende linearmente do vetor nv ; de fato, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t afvtaf t afvtaf a v f tt −+=−+= →→ 00 limlim isto é, ( ) ( ) ( )a v f a v f = Observação: A dependência linear referida na seção anterior não implica em garantirmos que ( ) ( ) ( ) ( )a w f a v f a wv f + = + Isso, em geral, é falso! (Ver [Elon]) Exemplo 9. A temperatura de qualquer ponto ( )yx, no plano XOY é dada por ( ) ( )22 100 , yx xy yxT + = . Encontre a derivada direcional no ponto ( )1,2 em uma direção que forma um ângulo de 60 com o eixo positivo das abscissas. Solução: Inicialmente, observemos que a direção que forma um ângulo de 60 com o eixo positivo das abscissas é dada pelo vetor ( ) == 2 3 , 2 1 60,60cos senv . Nesse caso basta calcular: ( ) ( ) ( ) t TtT v T t 1,2 2 3 , 2 1 1,2 lim1,2 0 − + = → Ou seja, ( ) ( ) t T tt T v T t 1,2 2 3 1, 2 2 lim1,2 0 − ++ = → Universidade Federal do Piauí 49 C á l c u l o I I I ( ) ( ) t T tt T v T t 1,2 2 3 1, 2 2 lim1,2 0 − ++ = → ( ) ( ) t T tt T v T t 1,2 2 3 1, 2 2 lim1,2 0 − ++ = → ( ) t tt tt v T t 40 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2100 lim1,2 22 0 − ++ + + + = → Portanto: ( ) ( ) ( ) 6312 532 3036040325 lim1,2 20 −= +++ −+− = → tt t v T t 3.4. Diferencial de uma Função Mais uma vez, daremos uma definição mais geral por entendermos que é mais fácil assim proceder do que ficar tentando abreviar e definirmos de forma errada, do ponto de vista matemático. Definição: Diremos que uma função → nDf : é diferenciável no ponto Da quando existirem as derivadas parciais ( )a x f 1 , ( )a x f 2 , ( )a x f 3 , ..., ( )a x f n e, além disso, para todo vetor ( ) nnvvvv = ,,, 21 tal que Dva + , tivermos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vrva x f va x f va x f afvaf n n + ++ + =−+ 2 2 1 1 onde ( ) 0lim 0 = → v vr v . Universidade Federal do Piauí 50 C á l c u l o I I I Observações Importantes: 1. Do ponto de vista matemático, o “crucial” nessa definição é o limite ( ) 0lim 0 = → v vr v . Ao se estudar a diferenciabilidade de uma função, o que devemos verificar (direta ou indiretamente) é o valor deste último limite. 2. A condição ( ) 0lim 0 = → v vr v significa, mais do que ( ) 0lim 0 = → vr v ; ela quer dizer que ( )vr tende a zer mais rapidamente do que v , isto é, para valores de v suficientemente próximos de zero, o valor de ( )vr é uma fração arbitrariamente pequena do comprimento do vator v . Nesse contexto estamos querendo dizer que ( )vr é um infinitésimo de ordem superior a v . 3. Dessa forma, f é diferenciável no ponto a quando o acréscimo ( ) ( )afvaf −+ é igual a uma função linear de v , do somatório ( ) ( ) ( ) n n va x f va x f va x f ++ + 2 2 1 1 , mais um resto infinitamente pequeno em relação a v . 3.4.1. O Gradiente de uma Função Diferenciável Definição: Dada uma função diferenciável → nDf : , definida no aberto nD . O gradiente de f ponto nDa , como o sendo o vetor ( )af tal que para todo ( ) nnvvvv = ,...,, 21 tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) = == = n i i i va x f vadfa v f vaf 1 ., Para os vetores da base canônica do n , temos, em particular, que: ( ) ( )a e f eaf i i = , , Universidade Federal do Piauí 51 C á l c u l o I I I ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) = a x f ax f a x f af n ,...,, 21 A seguir enunciaremos as propriedades mais importantes a respeito do vetor gradiente de uma função diferenciável. Nas propriedades enunciadas a seguir, fixaremos um ponto na e suporemos que ( ) 0 af . Os detalhes das demonstrações que asseguram tais afirmações podem ser encontradas em ([Elon]) 3.4.2. Propriedades do Vetor Gradiente 1. O gradiente aponta numa direção na qual a função é crescente, ou seja, se ( ) 0= afw , então: ( ) 0 a w f 2. Dentre todas as direções nas quais a função cresce, a direção do gradiente é aquela em que a função cresce mais rapidamente, ou seja, se ( ) 0= afw , então, para qualquer nv , tal que, wv = , temos que: ( ) ( )a w f a v f . 3. O gradiente de f no ponto nDa é perpendicular à superfície de nível de f que passa por esse ponto. Geometricamente, isto quer dizer que, para qualquer curva diferenciável no ponto nDa , temos que o vetor gradiente é perpendicular ao vetor tangente ao caminho considerado nesse ponto. Essas propriedades serão de grande valia para a resolução de problemas muito interessantes. Universidade Federal do Piauí 52 C á l c u l o I I I Exemplo 10. No problema do exemplo anterior, pergunta-se: em qual direção a partir de ( )1,2 a derivada alcança um maior valor? E qual é esse valor máximo? Solução: A direção que nos fornece o maior valor para a derivada da função, é a do vetor gradiente. Inicialmente observemos que as derivadas parciais da função T são: ( ) ( ) ( )222 222 200100 , yx yxyxy yx x f + −+ = ( ) ( ) ( )222 222 200100 , yx xyyxx yx y f + −+ = Assim sendo, o vetor gradiente para esta função, no ponto ( )1,2 será: ( ) ( )24,121,2 −=f Portanto, a direção solicitada é aquela que faz um ângulo cuja tangente é 2−=tg , isto é, um ângulo de 2tgarc− . O valor máximo dessa derivada é dada pela norma do vetor gradiente, isto é: ( ) ( ) .51224121,2 22 =+−=f Um resultado muito importante na Matemática, por suas inúmeras aplicações, é o Teorema do Valor Médio, o qual enunciaremos abaixo. A demonstração pode ser vista em ([Elon]). Teorema: Sejam → nDf : uma função definida no aberto nD , Da e nv . Suponhamos que o segemento de reta ],[ vaa + esteja contido em D , que f restrita ao segmento ],[ vaa + , seja contínua e que exista a derivada direcional ( )x v f , segundo v , em todo ponto ( )vaax + , . Então existe no intervalo aberto ( )1,0 tal que Universidade Federal do Piauí 53 C á l c u l o I I I ( ) ( ) ( )va v f afvaf + =−+ Uma conseqüência muito importante do teorema acima, é a que se segue: Corolário: Seja nD aberto e conexo. Se → nDf : possui derivadas direcionais em todo ponto Dx e ( ) 0= x v f , para qualquer vetor nv , então f é constante. Prova: Ver ([Elon]). Agora estamos em condições de definir diferenciabilidade de funções → nDf : . 3.5. Acréscimo Total de uma Função Definição: Chama-se acréscimo total da função → nDf : , no ponto Da , em relação ao vetor nv , a diferença: ( ) ( ) ( ).afvafaf −+= Particularizando, para funções de duas variáveis ( )yxfz ,= , o acréscimo total geralmente é escrito nos livros de Cálculo da seguinte maneira: ( ) ( ) ( )yxfyyxxfyxf ,,, −++= 3.6. Diferencial Total de uma Função Definição: O diferencial total de uma função ( )yxfz ,= no ponto ( )yx, corresponde à parte principal do acréscimo total z , quando 0→x e 0→y , linear em relação aos acréscimos das variações x e y . A diferença entre o acréscimo total e a diferencial total da função é um “resto” infinitesimal de ordem superior a 22 yx + , isto é: Universidade Federal do Piauí 54 C á l c u l o I I I ( ) ( ) ( ) 0 ,;; lim 22 0 0 = + −−++ → → yx yxdfyxfyyxxf y x Quando as derivadas parciais de f são contínuas, a função é dita diferenciável. ([Elon]). As diferenciais das variáveis independentes, por definição, coincidem com seus respectivos acréscimos, isto é, xdx = e ydy = . A diferencial total da função ( )yxfz ,= é calculada mediante a fórmula: dy y f dx x f df + = Analogamente, a diferencial total de uma função ( )zyxff ,,= é calculada pela fórmula: dz z f dy y f dx x f df + + = Vejamos uma situação prática para entendermos melhor tal definição. Exemplo 11. Para a função definida pela lei ( ) 22, yxyxf += ache o acréscimo total e a diferencial de f . Solução: Utilizando a fórmula ( ) ( ) ( )yxfyyxxfyxf ;;, −++= teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222;; yxyyxxyxfyyxxf +−+++=−++ Fazendo as devidas simplificações obteremos: ( ) ( ) 2222;; yxyyxxyxfyyxxf +++=−++ Dessa forma, a expressão yyxxdf += 22 é a diferencial total da função dada. Para suprir as necessidades mais exigentes de alguns leitores dareos um enfoque mais formal do diferencial de uma função. Universidade Federal do Piauí 55 C á l c u l o I I I Definição: Seja → nDf : uma função definida no aberto nD e diferenciável no ponto Da . A diferencial de f no ponto Da é a aplicação linear ( ) →nadf : , cujo valor no vetor ( ) nnvvvv = ,,, 21 é dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n va x f va x f va x f a v f vadf ++ + = = 2 2 1 1 Esta é a definição geral de diferencial de uma função. Observe que a diferencial nada mais é do que um funcional linear e, como vimos em Álgebra Linear, os funcionais lineares possuem uma representação matricial com relação a alguma base do espaço vetorial a qual se insere, no nosso caso o espaço vetorial em questão é o espaço euclideano n . Mostra-se que o funcional linear ( )adf se exprime como uma combinação linear dos funcionais idx , sendo ( )a x f i os coeficientes dessa combinação. Ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) n n dxa x f dxa x f dxa x f adf ++ + = 2 2 1 1 Finalmente, a igualdade acima valendo para todo ponto Da , pode-se escrever: n n dx x f dx x f dx x f df ++ + = 2 2 1 1 Para maiores detalhes técnicos e analíticos, veja ([Elon]). 3.7. Aplicação da Diferencial Total em Aproximações Quando x e y são suficientemente pequenos e, portanto 22 yx + , para a função diferenciável ( )yxfz ,= no ponto ( )yx, se verifica a igualdade aproximada dzz , ou seja, y y z x x z z + Exemplo 12. Calcular o valor aproximado da potência ( ) 04,303,1 . Universidade Federal do Piauí 56 C á l c u l o I I I Solução: Considerando a função ( ) yxyxf =, , a qual é diferenciávelem seu domínio ( ) 0;, 2 = xyxD . O valor procurado pode ser considerado como o valor acrescentado desta função quando 1=x , 3=y , 03,0=x e 04,0=y . De acordo com os dados, o valor inicial da função é ( ) 113,1 3 ==f . Assim teremos: yxxxyxdff yy += − ln1 , ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) 09,03,13,1 04,01ln103,0133,13,1 32 = += dff dff Portanto, resulta que: ( ) 09,109,0103,1 04,3 =+ . Exemplo 11. Um dos lados de um retângulo mede cmx 10= , o outro lado mede cmy 24= . Como variará a diagonal deste retãngulo, se o lado a aumentar em mm4 e o lado b diminuir em mm1 ? Solução: Consideremos a função ( ) 22, yxyxf += , que nos fornece a medida da diagonal do retângulo. De acordo com os dados temos: cmx 10= , cmy 24= , cmmmx 4,04 == e cmmmy 1,01 −=−= . Uma vez que y yx y x yx x dff + + + = 2222 temos fazendo as devidas substituições: ( )1,0 2410 24 4,0 2410 10 2222 − + + + = dff ou seja, cmdff 0615,0 26 6,1 26 4,24 = − = Portanto, a diagonal aumentará, aproximadamente, cm0615,0 , ou seja, a nova diagonal medirá cm0615,26 . Observe que a variação exata nesse caso é dada pela diferença Universidade Federal do Piauí 57 C á l c u l o I I I ( ) ( ) ( )24;109,23;4,1024,10 fff −= ou seja, ( ) ( ) ( ) cmf 0647,024109,234,1024,10 2222 +−+= Exemplo 12. A produção diária de uma certa fábrica é dada pela lei ( ) 3 1 2 1 90, LKLKQ = unidades, onde K é o capital investido, medido em unidades de R$ 1.000,00, e L é o número de operários-hora. O capital investido atualmente é de R$ 10.000.000,00 e trabalham no local cerca de 1.000 operários- hora diáriamente. Determinar a variação na produção resultante do acréscimo de R$ 2.000,00 no capital investido e do acréscimo de 3 operários-hora. Solução: Aplicando a fórmula de aproximação, L L Q K K Q Q + Com 000.10=K , 000.1=L , 2=K e 3=L , obteremos: L L KKL K Q + 3 2 3 2 1 3 1 90 1 2 1 90 Ou seja, 3 000.1 1 000.10 3 1 902000.1 000.10 1 2 1 90 3 2 3 2 +Q Realizando as operações, obtemos: 18090903 100 1 100 3 1 902100 100 1 2 1 90 =+=+Q Dessa forma, a produção aumentará de aproximadamente 180 unidades. 3.8. Derivação de Funções Compostas Nessa seção seremos breves no que diz respeito à parte teórica das derivadas de funções que são composições de outras. Basicamente, nos reportaremos a dois casos desse tipo Universidade Federal do Piauí 58 C á l c u l o I I I de derivada e ensinaremos como aplicar a regra de derivação. O leitor interessado em maiors detalhes, ver ([Elon]). 3.8.1. Caso de uma só Variável Independente Suponhamos que ( )yxfz ,= seja uma função diferenciável das coordenadas x e y , as quais são, por sua vez, funções diferenciáveis de uma terceira variável independente t , isto é: ( ) ( )tytx == , . Nessas condições a derivada da função composta ( ))(),( ttfz = é calculada mediante a fórmula: (ver ([Elon]) dt dy y z dt dx x z dt dz + = Exemplo 13. Achar dt dz , supondo que ( )22ln yxz += , onde 2tx = e tey = . Solução: Nesse caso utilizando a fórmula acima segue-se que: te yx x t yx x dt dz + + + = 2222 2 2 2 Finalmente fazendo as substituições 2tx = e tey = , teremos: t t et et dt dz 24 22 24 + + = Exemplo 14. Achar a derivada dt dz , supondo que yxez = , onde xy ln= . Solução: Nesse caso, basta que façamos tx = na fórmula acima e resultará: t exee dt dz yyy 11 += Agora com as devidas substituições das variáveis x e y obteremos: Universidade Federal do Piauí 59 C á l c u l o I I I 2tt dt dz += 3.8.2. Caso de Diversas Variáveis Independentes Suponhamos agora que ( )yxfz ,= seja uma função diferenciável das coordenadas x e y , as quais são, por sua vez, funções diferenciáveis de duas outras variáveis independentes u e v isto é: ( ) ( )vuyvux ,,, == . Nessas condições aa derivadas parciais de ( )yxfz ,= com respeito às novas variáveis independentes u e v são expressas da seguinte maneira: (ver ([Elon]) u y y z u x x z u z + = e v y y z v x x z v z + = Observação: Observe que em todos os casos examinados sempre será válida a fórmula, conhecida por alguns autores como a propriedade de invariância da diferencial total: dy y z dx x z dz + = Exemplo 14: Se ( )22ln yxz += , onde uvx = e v u y = , obtenha as derivadas parciais u z e v z . Solução: Aplicando as fórmulas para esse segundo caso de derivação, segue-se que: vyx y v yx x u z 122 2222 + + + = agora fazendo as devidas substituições das funções uvx = e v u y = obtemos: Universidade Federal do Piauí 60 C á l c u l o I I I ( ) ( ) v v u uv v u v v u uv uv u z 1 2 2 2 2 2 2 + + + = ou seja, após as simplificações, temos: ( ) u vu u z 2 , = Para obtenção da derivada parcial v z , teremos: − + + + = 22222 22 v u yx y u yx x v z Fazendo as devidas substituições das funções uvx = e v u y = obtemos: ( ) ( ) − + + + = 22 2 2 2 2 2 v u v u uv v u u v u uv uv v z Simplificando resulta ( ) ( )1 2 , 4 + −= vv vu v z Exemplo 15: Achar x z e dx dz , supondo que: = x y arctgz e 2xy = Solução: Parar o cálculo da derivada parcial x z basta que procedamos como segue: − + = 22 1 1 x y x yx z ou seja, 22 yx y x z + −= Universidade Federal do Piauí 61 C á l c u l o I I I Por outro lado para a obtenção da derivada ordinária dx dz , faremos uso da fórmula do Caos 1 desta seção, a saber: dt dy y z dt dx x z dt dz + = De fato, fazendo tx = , teremos: dx dy y z x z dx dz + = Logo, ( )x yxyx y dx dz 2 1 2222 + + + −= Simplificando, obteremos 22 2 yx yx dx dz + − = Daí fazendo a substituição 2xy = resulta: x x dx dz x xx dx dz 2 2 2 2 2 2 − = − = Exemplo 16. Mostre quese ( )ayxfz += , onde f é uma função diferenciável, então, x z a y z = Solução: Da forma como foi definida a função z , devemos observar que f é uma função real de variável real. Portanto, a diferenciabilidade a que se refera questão é de fato a derivabilidade que conhecemos para funções de em . Assim sendo segue-se que: ( ) ( ) y ayx ayxf y z + += ' ou seja, ( )ayxaf y z += ' Por outro lado, Universidade Federal do Piauí 62 C á l c u l o I I I ( ) ( ) ( )ayxf x z x ayx ayxf x z += + += '' Logo, segue-se que: x z a y z = . Exemplo 17. Demonstrar que se ( )222 zyxfu ++= , onde coscosrx = , senry cos= e rsenz = , então 00 = = u e u . Solução: Da mesma forma como na questão anterior, f é uma função real de variável real; portanto, segue-se que: ( ) ( ) ( ) cos22cos2' 222 rzsenrsenyrsenxzyxfu +−+−++= Agora, fazendo coscosrx = , senry cos= e rsenz = temos 2222 rzyx =++ e, separadamente, ( ) ( ) ( ) cos2cos2 cos22 coscos2cos2 2 22 22 senrrz sensenrsenrseny senrrsenx = −=− −=− O valor da soma dessas três últimas igualdades é zero, logo 0= u . De forma inteiramente análoga, obtem-se 0= u . (Fica como exercício!!!) 3.9. Curvas de Nível e Superfícies de Nível Definição: Chamaremos de curva de nível de uma função de duas variáveis reais ( )yxfz ,= , à curva ( ) kyxf =, do plano XOY , em cujos pontos a função toma um valor constante k . Exemplo 18. Construir as curvas de nível da função ( ) 22, yxyxf += . Solução: A equação das curvas de nível da função dada tem a forma kyx =+ 22 , onde k . Observe que o número real k , Universidade Federal do Piauí 63 C á l c u l o I I I para esse caso, deve ser não-negativo, uma vez que é soma de quadrados. Geometricamente, essas curvas de nível são círculos concêntricos, centrados na origem, de raio dado por k . (ver figura abaixo) Figura 08 3.9.1. Interpretação Geométrica da Curva de Nível A interpretação geométrica de uma curva de nível não é muito complicada; imagine a equação ( )yxfz ,= de uma superfície no espaço tridimensional. A curva de nível ( ) Cyxf =, nada mais é do que a projeção sobre o plano XOY da curva obtida pela interseção da superfície ( )yxfz ,= com o plano horizontal Cz = . Veja a ilustração abaixo: Figura 09 3.9.2 Coeficiente Angular da Curva de Nível Universidade Federal do Piauí 64 C á l c u l o I I I O coeficiente angular da reta tangente à curva de nível ( ) kyxf =, em um certo ponto é obtido admitindo-se que, nas proximidades do ponto em questão, tenhamos ( )xyy = ou ( )yxx = . Se supussermos que em tal vizinhança, tenhamos que ( )xyy = , tal coeficiente angular é dado pela derivada ordinária dx dy . Nesse caso, esta derivada é a taxa de variação de y em relação a x na curva de nível, ou seja, dx dy nos fornece um valor aproximado da variação pela coordenada y de um ponto da curva de nível, quando a coordenada aumenta de 1 unidade. Para obtermos a derivada dx dy , podemos usar esse primeiro caso da regra da cadeia para a função ( )yxfz ,= , com ( )xyy = . Portanto, derivando a equação da curva de nível ( ) kyxf =, , via Regra da Cadeia, obtemos: 0= + dx dy y f x f Daí, suponto que 0 y f , segue-se que: y f x f dx df −= Exemplo 19. Uma determinada fábrica possue operários qualificados trabalhando x horas e os não-qualificados trabalhando y horas mensalmente. O dono da fábrica observous que nessas condições a fábrica pode produzir ( ) yxyxf 10, = unidades mensalmente. Atualmente, o fabricante gasta 30 horas em trabalho qualificado e 36 horas em trabalho não-qualificado, e pretende gastar 1 hora adicional em Universidade Federal do Piauí 65 C á l c u l o I I I trabalho qualificado. Qual a variação coresponente no nível do trabalho não-qualificado para que seja mantida a produção total? Solução: Inicialmente, observemos que a produção atual é de ( ) 180036301036,30 ==f unidades por mês. As combinações de x e y com as quais a produção se mantém inalterada neste nível são as coordenadas dos pontos que estão sobre a curva de produção constante ( ) 1800, =yxf . Como sabemos, para qualquer valor de x , o coeficiente angular desta curva é uma boa estimativa da variação y (operários não-qualificados) que deveria ser efetuada para compensar o acréscimo de 1 unidade em x (operários qualificados), mantendo constante o nível de produção. Dessa forma, calculando o coeficient angular dessa curva e nível, admitindo 30=x e 36=y , encontraremos: 4,2 150 360 36 305 3610 −=−= −= dx df Ou seja, para compensar o acréscimo proposto ao número e operários qualificados, o dono da fábrica deverá reduzir o número de operários não-qualificados de aproximadamente 2. Definição: Chamaremos de superfície de nível de uma função de três variávis reais ( )zyxfw ,,= à superfície ( ) kzyxf =,, do espaço tridimensional, em cujos pontos a função toma um valor constante k . Exemplo 08. Construir as superfícies de nível das funções das três variáveis independentes ( ) zyxzyxf ++=,, . Solução: A equação das superfícies de nível da função dada tem a forma kzyx =++ , onde k . Geometricamente, essas superfícies de nível são planos paralelos, cujo vetor normal a Universidade Federal do Piauí 66 C á l c u l o I I I estes é ( )1,1,1=v . Quando 0=k , o plano passa pela origem do sistema de coordenadas. 3.10. Derivadas Parciais de Ordens Superiores Quando temos ( )yxfz ,= , vimos que podemos obter as derivadas parciais de primeira ordem x z e y z . Estas, por sua vez, também são funções de duas variáveis e, por conseguinte, podemos, sob certas condições de regularidade, obtermos suas derivadas parciais, a saber: x x z , y x z , x y z e y y z Estas serão denotadas, respectivamente, por: 2 2 x z , xy z 2 , yx z 2 e 2 2 y z Tais derivadas são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de ( )yxfz ,= . As derivadas xy z 2 e yx z 2 são ditas derivadas mistas de segunda ordem. Em geral, as derivadas mistas não são iguais, porém se supussermos que a função → nDf : seja duas vezes diferenciável num ponto Da , então )()( 22 a yx z a xy z = Ou seja, o resultado da derivação múltipla não depende da ordem de derivação. (Teorema de Schwarz).
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