Exercício 22. Seja s1 = √2 e defina sn+1 = √2 + √sn para todo n = 1, 2, . . . Mostre que {sn} converge e que sn < 2 para todo n = 1, 2, . . .. Sej...

Para mostrar que {sn} converge e que sn < 2 para todo n = 1, 2, ..., podemos utilizar o método da indução matemática. 1) Primeiro, vamos mostrar que s1 < 2: s1 = √2 < 2, pois 2 < 4. 2) Agora, vamos supor que sn < 2 para algum n = k, ou seja, sn+1 = √2 + √sn < √2 + √2 = 2√2 < 2*2 = 4. Portanto, sn+1 < 2 para todo n = k. 3) Como s1 < 2 e sn+1 < 2 para todo n = k, podemos concluir que {sn} converge e que sn < 2 para todo n = 1, 2, .... Assim, mostramos que a sequência {sn} converge para um limite menor que 2.