Seja f : R → R e suponha que existe x0 ∈ R na qual a função f é contínua. Suponha também que, para todo x, y ∈ R, f satisfaz a equação f(x + y) = f...

Para mostrar que existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R, podemos usar o seguinte raciocínio: 1. Sabemos que f(x + y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈ R. 2. Se fixarmos y = 0, temos f(x) = f(x) + f(0), o que implica que f(0) = 0. 3. Se fixarmos x = 0, temos f(y) = f(0) + f(y), o que implica que f(0) = 0. 4. Agora, fixando x = 1, temos f(1 + y) = f(1) + f(y) para todo y ∈ R. 5. Definindo a = f(1), temos f(x) = xf(1) para todo x ∈ Q (números racionais). 6. Para todo x ∈ R, podemos encontrar uma sequência (xn) de números racionais que converge para x. Como f é contínua em x0, temos que f(xn) converge para f(x0). 7. Usando a propriedade de continuidade de f, temos que f(x) = lim f(xn) = lim xn f(1) = xf(1) = ax para todo x ∈ R. Portanto, concluímos que existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R.