Usando coordenadas esféricas, calcule o volume do sólido interior à superf́ıcie esférica x2 + y2 + z2 = 9 e exterior à superf́ıcie ciĺındrica...

Para calcular o volume do sólido interior à superfície esférica x² + y² + z² = 9 e exterior à superfície cilíndrica x² + y² = 9, podemos utilizar coordenadas esféricas. A equação da superfície esférica em coordenadas esféricas é ρ² = x² + y² + z², e a equação da superfície cilíndrica é ρ² = x² + y². Podemos observar que a superfície esférica tem raio 3, pois ρ = 3 quando x = y = z = 0. A superfície cilíndrica tem raio 3 na direção x e y. Para calcular o volume do sólido, podemos integrar a função 1 em relação às coordenadas esféricas ρ, θ e φ, limitando as integrais pelas superfícies dadas. O volume do sólido é dado por: V = ∫∫∫ dV Onde dV = ρ² sen φ dρ dθ dφ é o elemento de volume em coordenadas esféricas. As integrais são limitadas pelas superfícies dadas: 3² = ρ² + z² 3² = ρ² + x² + y² Resolvendo para z e x² + y², temos: z = √(9 - ρ²) x² + y² = 9 - ρ² As integrais ficam assim: V = ∫[0,2π] ∫[0,π/2] ∫[0,3] ρ² sen φ dρ dθ dφ - ∫[0,2π] ∫[π/4,π/2] ∫[0,√(9 - cos θ) ] ρ² sen φ dρ dθ dφ Resolvendo as integrais, temos: V = 4π/3 (3³ - 2³) - 2π/3 (3²)^(3/2) (cos(π/4) - cos(π/2)) V = 36π/3 - 18π/3 (1/√2) V = 18π (2 - √2) unidades de volume. Portanto, o volume do sólido é 18π (2 - √2) unidades de volume.