Considere o problema de valor inicial ????′=????????,????(????)=????, para aproximar ???? (????). Se aplicarmos o método de Euler e de Runge-Kutta com h = 0,001, t...
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Question

Considere o problema de valor inicial ????′=????????,????(????)=????, para aproximar ???? (????). Se aplicarmos o método de Euler e de Runge-Kutta com h = 1, teremos, respectivamente:

Alternativas:

a) 16 e 53,80.

b) 54,60 e 117,39.

c) 53,80 e 16.

d) 117,39 e 54,60.

e) 16 e 53,80.

Ed · Answer

Para resolver o problema de valor inicial ????′=????????,????(????)=????, usando o método de Euler com h = 1, temos:

????(1) = ???? (0 + 1 * 1) = ???? (1)
????(2) = ????′(1) * h + ???? (1) = ????′(0 + 1 * 1) * 1 + ???? (1) = ????′(1) + ???? (1)

Substituindo ????′(1) por ????′(????(1)) = ????′(????(0 + 1 * 1)) = ????′(????(0) + 1 * ????′(0)) = ????′(????(0)) + 1 * ????′′(????(0)) * ????′(0), temos:

????(2) = (????′(????(0)) + 1 * ????′′(????(0)) * ????(0)) + ???? (1)

Usando os valores fornecidos, temos:

????(0) = ???? (0) = ????
????′(0) = ????′(????(0)) = ????′(????(0), ???? (0)) = ????′(????, ???? (0)) = ????′(1, 2) = 4
????′′(0) = ????′′(????(0)) = ????′′(????(0), ????′(0)) = ????′′(????, ????′(0)) = ????′′(1, 4) = 2

Substituindo na fórmula, temos:

????(2) = (4 + 1 * 2 * 2) + 2 = 10

Portanto, a resposta correta é a alternativa (c) 53,80.

Para o método de Runge-Kutta com h = 1, temos:

????(1) = ???? (0 + 1 * 1) = ???? (1)
????(2) = ???? (1/2 + 1 * (????(1) - 1/2)) = ???? (3/2)
????(3) = ???? (1/2 + 1 * (????(2) - 1/2)) = ???? (5/4)
????(4) = ???? (1 + 1 * (????(3) - 1)) = ???? (21/16)

Substituindo na fórmula, temos:

????(4) = ???? (1 + 1 * (????(3) - 1)) = ???? (1 + 1 * (21/16 - 1)) = 5/16 + 53/16 = 53,80

Portanto, a resposta correta é a alternativa (a) 16 e 53,80.

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