Com relação à função sobrejetora de IR em A definida por f(x)=2-2¢­ò, sendo a=|x| considere as afirmacoes: I) f(x) é par. II) f(x) > x£ + 1, ¯x Æ I...

Podemos afirmar que apenas a alternativa c) é verdadeira, ou seja, apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. I) f(x) é par: Para verificar se a função é par, basta verificar se f(-x) = f(x). Substituindo -x em f(x), temos: f(-x) = 2 - 2|(-x)| = 2 - 2|x| = f(x). Portanto, a afirmativa I é verdadeira. II) f(x) > x£ + 1, ¯x Æ IR: Para verificar se a afirmativa II é verdadeira, basta substituir a expressão de f(x) na desigualdade. Temos: 2 - 2|a| > a£ + 1. Podemos resolver essa desigualdade de duas formas: a) Separando em casos: - Se a < 0, então |a| = -a e a£ = -a. Substituindo na desigualdade, temos: 2 + 2a > -a + 1 => 3a > -1 => a > -1/3. - Se a >= 0, então |a| = a e a£ = a. Substituindo na desigualdade, temos: 2 - 2a > a + 1 => a < 1/3. Portanto, a desigualdade é verdadeira para -1/3 < a < 1/3, ou seja, para todo x pertencente ao intervalo (-1/3, 1/3). b) Utilizando a derivada: Podemos verificar que a função f(x) é decrescente no intervalo (-¶, 0) e crescente no intervalo (0, +¶). Portanto, o mínimo global da função ocorre em x = 0, onde f(0) = 2. Além disso, temos que f'(x) = -2x/|x| = -2 ou 2, dependendo do sinal de x. Portanto, a função não tem pontos críticos em que a derivada é zero. Como f'(0) = 0 não é um ponto crítico, temos que f(x) > x£ + 1 para todo x diferente de zero. Concluímos que a afirmativa II é falsa. III) IRø - A = [2, +¶): Para verificar se a afirmativa III é verdadeira, basta verificar se todo número maior ou igual a 2 pertence a IRø - A e se todo número menor que 2 pertence a A. - Se x >= 2, então a = x e f(x) = 2 - 2x < 0. Portanto, x pertence a IRø - A. - Se 0 <= x < 2, então a = x e f(x) = 2 - 2x >= 0. Portanto, x não pertence a IRø - A. - Se x < 0, então a = -x e f(x) = 2 - 2|x| >= 2. Portanto, x não pertence a IRø - A. Concluímos que a afirmativa III é verdadeira. Portanto, a alternativa correta é a letra c) apenas I e III são verdadeiras.