A partir de um cubo de aresta 1, inscreve-se uma esfera; nessa esfera inscreve-se um novo cubo e neste, uma nova esfera. Repetindo essa operação in...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica. A razão dessa progressão geométrica é dada pela razão entre o diâmetro da esfera inscrita no cubo e a aresta do cubo. O diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo, que é √3. Portanto, a razão é √3/1 = √3. A área total de cada cubo é 6 vezes o quadrado da sua aresta. A área total dos cubos inscritos na esfera é igual a 6a², onde a é a aresta do cubo. A área total das esferas inscritas nos cubos é igual a 4πr², onde r é o raio da esfera. O raio da esfera inscrita no cubo é igual à metade da aresta do cubo, ou seja, r = a/2. Assim, a soma das áreas totais dos cubos é dada por: S = 6a² + 4πr² + 6(a/√3)² + 4π(r/√3)² + 6(a/3)² + 4π(r/3)² + ... Podemos reescrever essa soma como: S = 6a² + 4πr² + 6(a/√3)²(1 + 1/3 + 1/9 + ...) + 4π(r/√3)²(1 + 1/3 + 1/9 + ...) + ... A soma dos termos da série geométrica infinita 1 + 1/3 + 1/9 + ... é dada por: S = a/(1 - r) = a/(1 - 1/3) = 3a/2 Substituindo na expressão anterior, temos: S = 6 + 4π(a/2)² + 6(a/√3)²(3/2) + 4π(r/√3)²(3/2) + ... Simplificando, temos: S = 6 + 2π/3 + 9a²/2 + 2πa²/27 + ... Substituindo a = 1, temos: S = 6 + 2π/3 + 9/2 + 2π/27 + ... S = 15 + 11π/27 Portanto, a resposta correta é a letra E) 11.