No sistema em malha fechada representado na figura, K ∈ R é um ganho a ser ajustado e G é uma planta cuja descrição em malha aberta é dada pel...

Question

No sistema em malha fechada representado na figura, K ∈ R é um ganho a ser ajustado e G é uma planta cuja descrição em malha aberta é dada pela equação diferencial: d2y(t)dt2+4dy(t)dt+3y(t)=du(t)dt−2u(t). Sendo assim: a) esboce o lugar das raı́zes; b) determine a função de transferência de r para y em malha fechada; c) calcule o valor máximo do ganho K para o qual o sistema em malha fechada é estável.
a) esboce o lugar das raı́zes;
b) determine a função de transferência de r para y em malha fechada;
c) calcule o valor máximo do ganho K para o qual o sistema em malha fechada é estável.

Ed · Answer

a) Para esboçar o lugar das raízes, é necessário calcular o polinômio característico do sistema em malha fechada. O polinômio característico é dado por:

P(s) = 1 + 4s + 3s^2 + K(du/dt - 2u)

Igualando P(s) a zero, temos:

3s^2 + 4s + (1 - 2K) = 0

Calculando as raízes desse polinômio, temos:

s1 = -1/3 e s2 = -1

O lugar das raízes é dado pela reta que liga esses dois pontos no plano complexo.

b) A função de transferência de r para y em malha fechada é dada por:

Gmf(s) = G(s) / (1 + K*G(s))

Substituindo G(s) pela sua expressão em malha aberta, temos:

Gmf(s) = 1 / (3s^2 + 4s + (1 - 2K) + K(du/dt - 2u))

c) Para que o sistema em malha fechada seja estável, é necessário que todas as raízes do polinômio característico tenham parte real negativa. Como as raízes são s1 = -1/3 e s2 = -1, o sistema será estável se K > 3/2. Portanto, o valor máximo do ganho K para o qual o sistema em malha fechada é estável é K = 3/2.

No sistema em malha fechada representado na figura, K ∈ R é um ganho a ser ajustado e G é uma planta cuja descrição em malha aberta é dada pel...

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