Um polígono regular possui 2n vértices (n ∈ N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 vértices do polígono, formando o quadrilátero ABCD. A probabilidade d...

Um polígono regular possui 2n vértices (n ∈ N, n > 1). Escolhem-se ao acaso 4 vértices do polígono, formando o quadrilátero ABCD. A probabilidade de ABCD ser um retângulo é

(A) (n^2 - n)/(2n choose 4)
(B) n-1/(2n choose 4)
(C) (n+2)/(4 choose 2n)
(D) (2n^2)/6(2n choose 4)
(E) (n^2 + 2n + 4)/(12(2n choose 4))

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Testando o Conhecimento

07/01/2024

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Geografia • Universidade Federal de UberlândiaUniversidade Federal de Uberlândia

Reginaldo Ribeiro

Respostas

07.01.2024

A resposta correta é a alternativa (A) (n^2 - n)/(2n choose 4). Para que ABCD seja um retângulo, é necessário que seus lados opostos sejam iguais e que seus ângulos internos sejam retos. O número de maneiras de escolher 4 vértices do polígono é dado por (2n choose 4). O número de retângulos que podem ser formados a partir desses 4 vértices é n(n-1)/2, pois é necessário escolher dois vértices opostos do polígono (o que pode ser feito de n maneiras) e, em seguida, escolher outros dois vértices opostos (o que pode ser feito de n-1 maneiras). Assim, a probabilidade de ABCD ser um retângulo é dada por (n(n-1)/2) / (2n choose 4), que pode ser simplificado para (n^2 - n)/(2n choose 4). Portanto, a resposta correta é a alternativa (A).