Sejam P1 um tetraedro regular e P2 um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma base comum, e a razão entre as áreas totais de P2 e P1...

Vamos lá! Sabemos que a razão entre as áreas totais de P2 e P1 é 2. Podemos escrever isso como: Área total de P2 / Área total de P1 = 2 A área total de um tetraedro regular é dada por: Área total de P1 = √3 * a^2 Onde "a" é a medida da aresta do tetraedro. Já a área total de um prisma triangular reto é dada por: Área total de P2 = 2 * A_base + P * a Onde "A_base" é a área da base do prisma, "P" é o perímetro da base e "a" é a medida da altura do prisma. Como os poliedros possuem uma base comum, podemos igualar as áreas das bases: A_base de P1 = A_base de P2 Substituindo as fórmulas das áreas totais e igualando as áreas das bases, temos: (2 * A_base + P * a) / (√3 * a^2) = 2 Simplificando, temos: A_base / a^2 + P / (2 * √3 * a) = 1 Agora, vamos calcular a razão entre os volumes de P2 e P1. O volume de um tetraedro regular é dado por: Volume de P1 = a^3 / (6 * √2) Já o volume de um prisma triangular reto é dado por: Volume de P2 = A_base * a Dividindo o volume de P2 pelo volume de P1, temos: (Volume de P2) / (Volume de P1) = (A_base * a) / (a^3 / (6 * √2)) Simplificando, temos: (Volume de P2) / (Volume de P1) = 3 * √2 Portanto, a razão entre os volumes de P2 e P1 é 3 * √2.