Sejam P1 e P2 dois pontos quaisquer interiores a um tetraedro regular. Sejam d1, a soma das distâncias de P1 às faces do tetraedro regular, e d2, a

\[A=(0,0,0)\]

\[B=(L,0,0)\]

Como a base é um triângulo equilátero, temos o terceiro vértice da base:

\[C=\left(\dfrac{L}2,\dfrac{L\sqrt3}2,0\right)\]

Por último temos que determinar o vértice \(D\), cuja projeção sobre o plano \(Oxy\) corresponde com o baricentro do triângulo e a altura é obtida por teorema de Pitágoras, onde a hipotenusa é a aresta e os catetos são a altura procurada e \(\dfrac23\) da mediana, que no caso do triângulo equilátero coincide com a altura:

\[D=\left(\dfrac{L}2,\dfrac13\cdot\dfrac{L\sqrt3}2,\sqrt{L^2-\left(\dfrac23\cdot\dfrac{L\sqrt3}2\right)^2}\right)\]

\[D=\left(\dfrac{L}2,\dfrac{L\sqrt3}6,\sqrt{L^2-\dfrac49\cdot\dfrac34L^2}\right)\]

\[D=\left(\dfrac{L}2,\dfrac{L\sqrt3}6,\dfrac{L\sqrt6}3\right)\]

Com todos os vértices determinados, podemos determinar as equações dos planos. Comecemos pelo plano \(ABC\):

\[a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\]

\[\begin{cases}A:\ 0a_1+0b_1+0c_1+d_1=0\Rightarrow d_1=0\\B:\ La_1+0b_1+0c_1+d_1=0\Rightarrow a_1=0\\C:\ \dfrac{L}2a_1+\dfrac{L\sqrt3}2b_1+0c_1+d_1=0\Rightarrow b_1=0\end{cases}\]

Então:

\[c_1z=0\Rightarrow 0x+0y+1z+0=0\]

Para a equação do plano \(ABD\), temos:

\[a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\]

\[\begin{cases}A:\ 0a_2+0b_2+0c_2+d_2=0\Rightarrow d_2=0\\B:\ La_2+0b_2+0c_2+d_2=0\Rightarrow a_2=0\\D:\ \dfrac{L}2a_2+\dfrac{L\sqrt3}6b_2+\dfrac{L\sqrt6}3c_2+d_2=0\Rightarrow \dfrac{b_2}{c_2}=-2\sqrt2\end{cases}\]

Então:

\[\dfrac{b_2}{c_2}y+z=0\Rightarrow 0x-2\sqrt2y+1z+0=0\]
\(Para a equação do plano\)ACD\(, temos:\)a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0\(\)\begin{cases}A:\ 0a_3+0b_3+0c_3+d_3=0\Rightarrow d_3=0\\C:\ \dfrac{L}2a_3+\dfrac{L\sqrt3}2b_3+0c_3+d_3=0\Rightarrow \dfrac{a_3}{b_3}=-\sqrt3\\D:\ \dfrac{L}2a_3+\dfrac{L\sqrt3}6b_3+\dfrac{L\sqrt6}3c_3+d_3=0\Rightarrow \dfrac{c_3}{b_3}=\dfrac{\sqrt2}2\end{cases}\(Então:\)\dfrac{a_3}{b_3}x+y+\dfrac{c_3}{b_3}z=0\Rightarrow -2\sqrt3x+2y+\sqrt2z=0\(Para a equação do plano\)BCD\(, temos:\)a_4x+b_4y+c_4z+d_4=0\(\)\begin{cases}B:\ La_4+0b_4+0c_4+d_4=0\Rightarrow \dfrac{d_4}{a_4}=-L\\C:\ \dfrac{L}2a_4+\dfrac{L\sqrt3}2b_4+0c_4+d_4=0\Rightarrow \dfrac{b_4}{a_4}=\dfrac{\sqrt3}3\\D:\ \dfrac{L}2a_4+\dfrac{L\sqrt3}6b_4+\dfrac{L\sqrt6}3c_4+d_4=0\Rightarrow \dfrac{c_4}{a_4}=\dfrac{\sqrt6}6\end{cases}\(Então:\)x+\dfrac{b_4}{a_4}y+\dfrac{c_4}{a_4}z+\dfrac{d_4}{a_4}=0\Rightarrow 6x+2\sqrt3y+\sqrt6z-6L=0\(Lembremos agora da fórmula de distância entre ponto e plano, análoga fórmula de distância entre ponto e reta:\)D_{Pp}=\dfrac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b2+c^2}}\(Aplicando ao nosso caso e somando as distâncias, temos:\)d_1=\dfrac{|a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1|}{\sqrt{a_1^2+b_12+c_1^{2}}+\dfrac{|a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2|}{\sqrt{a_2}2+b_2^2+c_22}}+\dfrac{|a_3x_1+b_3y_1+c_3z_1+d_3|}{\sqrt{a_3^2+b_32+c_3^{2}}+\dfrac{|a_4x_1+b_4y_1+c_4z_1+d_4|}{\sqrt{a_4}2+b_4^2+c_42}}\(ABC\) e abaixo dos outros, de forma que podemos simplificar os módulos:">\(É importante lembrar que os pontos no interior do tetraedro estão acima do plano \(ABC\) e abaixo dos outros, de forma que podemos simplificar os módulos:\)d_1=\dfrac{a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1+d_1}{\sqrt{a_1^2+b_12+c_1^{2}}-\dfrac{a_2x_1+b_2y_1+c_2z_1+d_2}{\sqrt{a_2}2+b_2^2+c_22}}-\dfrac{a_3x_1+b_3y_1+c_3z_1+d_3}{\sqrt{a_3^2+b_32+c_3^{2}}-\dfrac{a_4x_1+b_4y_1+c_4z_1+d_4}{\sqrt{a_4}2+b_4^2+c_42}}\(Substituindo os valores já encontrados para os parâmetros, temos:\)\eqalign{d_1&=\dfrac{0x_1+0y_1+1z_1+0}{\sqrt{0²⁺⁰2+1^{2}}-\dfrac{0x_1-2\sqrt2y_1+1z_1+0}{\sqrt{0}2+(-2\sqrt2)²⁺¹2}}-\dfrac{-2\sqrt3x_1+2y_1+\sqrt2z_1+0}{\sqrt{(-2\sqrt3)²⁺²2+(\sqrt2)^{2}}-\dfrac{6x_1+2\sqrt3y_1+\sqrt6z_1-6L}{\sqrt{6}2+(2\sqrt3)^2+(\sqrt6)2}}\cr&=z_1-\dfrac{-2\sqrt2y_1+z_1}{\sqrt{8+1}}-\dfrac{-2\sqrt3x_1+2y_1+\sqrt2z_1}{\sqrt{12+4+2}}-\dfrac{6x_1+2\sqrt3y_1+\sqrt6z_1-6L}{\sqrt{36+12+6}}\cr&=z_1-\dfrac{-2\sqrt2y_1+z_1}3-\dfrac{-2\sqrt3x_1+2y_1+\sqrt2z_1}{3\sqrt2}-\dfrac{6x_1+2\sqrt3y_1+\sqrt6z_1-6L}{3\sqrt{6}}\cr&=z_1+\left(\dfrac{2\sqrt2}3y_1-\dfrac13z_1\right)+\left(\dfrac{\sqrt6}3x_1-\dfrac{\sqrt2}3y_1-\dfrac13z_1\right)+\left(\dfrac{-\sqrt6}3x_1-\dfrac{\sqrt2}3y_1-\dfrac13z_1+\dfrac13\sqrt6L\right)}\(Somando os coeficientes de cada coordenada, temos:\)d_1=0x_1+0y_1+0z_1+\dfrac{L\sqrt6}3\(\)\boxed{d_1=\dfrac{L\sqrt6}3}\(\)

Provamos, então, que a soma das distâncias de um ponto no interior de um tetraedro regular qualquer a cada uma de suas faces independe do ponto, como pedido, e mais: encontramos o valor dessa soma em função do tamanho da aresta.