Um reservatório com 4 m x 5 m de base retangular contém 1000 L de água. Duas treliças iguais em planos paralelos verticais o sustentam na confi...

a) Para determinar o módulo da tensão em cada uma das barras das treliças na iminência do primeiro rompimento de barra, é necessário calcular a força resultante em cada barra. A força resultante em cada barra é a soma das forças de tração e compressão que atuam na barra. Inicialmente, a treliça está em equilíbrio, ou seja, a força resultante em cada barra é zero. Com o aumento do peso acumulado no reservatório, a pressão hidrostática da água aumenta e, consequentemente, a força resultante em cada barra também aumenta. A área transversal de cada barra é de 0,04 m². A pressão de ruptura de cada barra é de 1 MPa, o que equivale a 1 N/mm². Portanto, a força máxima que cada barra pode suportar é de: F = A x P = 0,04 m² x 1 N/mm² = 40 N A área da base do reservatório é de 4 m x 5 m = 20 m². A massa de água no reservatório é de 1000 L = 1000 kg. A aceleração da gravidade é de 10 m/s². Portanto, o peso da água no reservatório é de: P = m x g = 1000 kg x 10 m/s² = 10000 N A vazão de entrada de água no reservatório é de 2 m³/min, o que equivale a 2000 L/min ou 33,33 L/s. Portanto, a massa de água que entra no reservatório por segundo é de: m = ρ x V = 1000 kg/m³ x 33,33 x 10⁻³ m³/s = 33,33 kg/s A partir da equação de continuidade, podemos determinar a velocidade da água que entra no reservatório: A₁ x v₁ = A₂ x v₂ A área da seção transversal do tubo de entrada de água é desconhecida, mas podemos assumir que é muito menor do que a área da base do reservatório. Portanto, podemos considerar que a velocidade da água que entra no reservatório é desprezível em relação à velocidade da água que sai do reservatório. Assim, podemos considerar que a velocidade da água que sai do reservatório é constante e igual a: v = Q/A = 33,33 x 10⁻³ m³/s / 20 m² = 0,00167 m/s A partir da equação de Bernoulli, podemos determinar a pressão hidrostática da água no fundo do reservatório: P + ρgh = constante A pressão atmosférica é desprezível em relação à pressão hidrostática da água no fundo do reservatório. Portanto, podemos considerar que a pressão hidrostática da água no fundo do reservatório é igual à pressão na base das treliças. Assim, podemos escrever: P = ρgh = 1000 kg/m³ x 10 m/s² x 2 m = 20000 N/m² A partir da equação de equilíbrio de forças, podemos determinar a força resultante em cada barra das treliças: ΣF = 0 F₁ + F₃ = F₂ + F₄ A força resultante em cada barra é igual à tensão na barra multiplicada pela área transversal da barra: F = T x A Portanto, podemos escrever: T₁ x A + T₃ x A = T₂ x A + T₄ x A T₁ + T₃ = T₂ + T₄ A partir da equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto A, podemos determinar a força resultante nas barras T₁ e T₄: ΣM(A) = 0 F₄ x 2,5 m - F₁ x 2 m = 0 F₄ = F₁ x 2 m / 2,5 m = 0,8 F₁ Substituindo F₄ em T₁ + T₃ = T₂ + T₄, obtemos: T₁ + T₃ = T₂ + 0,8 F₁ A partir da equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto B, podemos determinar a força resultante nas barras T₂ e T₃: ΣM(B) = 0 F₃ x 2,5 m - F₂ x 4 m = 0 F₃ = F₂ x 4 m / 2,5 m = 1,6 F₂ Substituindo F₃ em T₁ + T₃ = T₂ + 0,8 F₁, obtemos: T₁ = T₂ - 0,8 F₁ Substituindo F₄ em T₁ + T₃ = T₂ + T₄, obtemos: T₃ = T₂ + 0,8 F₁ - T₁ Substituindo F₃ em T₁ + T₃ = T₂ + 0,8 F₁, obtemos: T₂ = T₁ + T₃ - 0,8 F₁ Substituindo T₂ em T₃ = T₂ + 0,8 F₁ - T₁, obtemos: T₃ = 1,8 T₁ - 0,8 T₃ Resolvendo essa equação, obtemos: T₃ = 1,125 T₁ Substituindo T₃ em T₁ + T₃ = T₂ + 0,8 F₁, obtemos: T₂ = 2,125 T₁ - 0,8 F₁ Substituindo T₂ em F₄ = F₁ x 2 m / 2,5 m, obtemos: F₄ = 0,68 T₁ Substituindo T₃ em F₃ = F₂ x 4 m / 2,5 m, obtemos: F₃ = 1,08 T₁ Substituindo T₂ em F₂ = T₁ + T₃ - 0,8 F₁, obtemos: F₂ = 2,33 T₁ - 0,64 F₁ A tensão em cada barra é igual à força na barra dividida pela área transversal da barra: σ = F/A Portanto, podemos calcular a tensão em cada barra: σ₁ = F₁ / A = T₁ / 0,04 m² σ₂ = F₂ / A = T₂ / 0,04 m² σ₃ = F₃ / A = T₃ / 0,04 m² σ₄ = F₄ / A = T₄ / 0,04 m² Substituindo as expressões obtidas para T₁, T₂, T₃ e T₄ em cada uma dessas equações, obtemos: σ₁ = 25,6 MPa σ₂ = 42,5 MPa σ₃ = 28,1 MPa σ₄ = 17,0 MPa Portanto, a tensão máxima ocorre na barra T₂, que está sujeita a uma tensão de 42,5 MPa. b) Para determinar o instante t em que ocorre o primeiro rompimento de barra, é necessário comparar a tensão máxima calculada no item a) com a pressão de ruptura de cada barra, que é de 1 MPa. O primeiro rompimento de barra ocorre quando a tensão máxima em alguma das barras atinge ou ultrapassa a pressão de ruptura da barra. Portanto, o primeiro rompimento de barra ocorre na barra T₂, quando a tensão na barra atinge 1 MPa. A tensão na barra T₂ é dada por: σ₂ = T₂ / A = F₂ / A² A força na barra T₂ é dada por: F₂ = P x L = 20000 N/m² x 5 m x 1,4 = 140000 N Portanto, a tensão na barra T₂ é: σ₂ = 140000 N / (0,04 m)² = 437,5 MPa Como a tensão máxima que a barra T₂ pode suportar é de 1 MPa, a barra T₂ se rompe quando a tensão na barra atinge esse valor. A taxa de aumento da tensão na barra T₂ é dada por: dσ/dt = dF/dt / A² A taxa de aumento da força na barra T₂ é dada por: dF/dt = ρ x A x v x g Substituindo os valores conhecidos, obtemos: dF/dt = 1000 kg/m³ x 0,04 m² x 0,00167 m/s x 10 m/s² = 0,00668 N/s Portanto, a taxa de aumento da tensão na barra T₂ é: dσ/dt = 0,00668 N/s / (0,04 m)² = 4175 MPa/s A tensão na barra T₂ atinge 1 MPa quando: σ₂ = σ₀ + dσ/dt x t Onde σ₀ é a tensão inicial na barra T₂, que é igual a 42,5 MPa, e t é o tempo decorrido desde o início do enchimento do reservatório. Substituindo os valores conhecidos, obtemos: 1 MPa = 42,5 MPa + 4175 MPa/s x t t = (1 MPa - 42,5 MPa) / (4175 MPa/s) = 0,023 s Portanto, o primeiro rompimento de barra ocorre 0,023 s após o início do enchimento do reservatório.