2) As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas este...

a) Para calcular a probabilidade de que exatamente três chamadas tenham as linhas ocupadas, podemos usar a distribuição binomial. Nesse caso, temos n = 10 chamadas e p = 0,4 de probabilidade de uma chamada ter a linha ocupada. Então, a probabilidade de exatamente três chamadas terem as linhas ocupadas é dada por: P(X = 3) = (10 escolher 3) * (0,4)^3 * (0,6)^7 P(X = 3) = 120 * 0,064 * 0,027 P(X = 3) = 0,215 Portanto, a probabilidade de que exatamente três chamadas tenham as linhas ocupadas é de 0,215. b) Para calcular a probabilidade de que pelo menos uma chamada tenha as linhas desocupadas, podemos calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, de que todas as chamadas tenham as linhas ocupadas. Nesse caso, podemos usar a distribuição binomial novamente, com n = 10 chamadas e p = 0,4 de probabilidade de uma chamada ter a linha ocupada. Então, a probabilidade de que todas as chamadas tenham as linhas ocupadas é dada por: P(X = 10) = (10 escolher 10) * (0,4)^10 * (0,6)^0 P(X = 10) = 0,4^10 P(X = 10) = 0,0001048576 Portanto, a probabilidade de que pelo menos uma chamada tenha as linhas desocupadas é de: P(pelo menos uma chamada desocupada) = 1 - P(todas as chamadas ocupadas) P(pelo menos uma chamada desocupada) = 1 - 0,0001048576 P(pelo menos uma chamada desocupada) = 0,9998951424 P(pelo menos uma chamada desocupada) = 0,994 (aproximadamente) Assim, a probabilidade de que pelo menos uma chamada tenha as linhas desocupadas é de 0,994. c) Para calcular o número esperado de chamadas em que as linhas estejam todas ocupadas, podemos usar a distribuição binomial novamente, com n = 10 chamadas e p = 0,4 de probabilidade de uma chamada ter a linha ocupada. A média ou valor esperado de uma distribuição binomial é dado por: E(X) = n * p Então, o número esperado de chamadas em que as linhas estejam todas ocupadas é de: E(X) = 10 * 0,4 E(X) = 4 Portanto, o número esperado de chamadas em que as linhas estejam todas ocupadas é de 4.