7. Encontre o ângulo entre os vetores
−→
u e
−→
u nos casos:
(a)
−→
u =
(
2, 1
)
e
−→
v =
(
4, 6
)
(b)
−→
u =
(
7, 5
)
e
−→
v =
(
1, 2
)
(c)
−→
u ...

Question

7. Encontre o ângulo entre os vetores−→u e−→u nos casos:(a)−→u =(2, 1)e−→v =(4, 6)(b)−→u =(7, 5)e−→v =(1, 2)(c)−→u =(−2, 0)e−→v =(3,−1)(d)−→u =(4, 3)e−→v =(4, 5)(e)−→u =(2, 1, 4)e−→v =(4, 6,−5)(f)−→u =(−3, 1,−2)e−→v =(0, 1,−1)(g)−→u =(1, 1,−3)e−→v =(1,−1, 2)(h)−→u =(−2,−1, 3)e−→v =(−4, 3,−1)

Ed · Answer

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, podemos utilizar a fórmula:

cos θ = (u . v) / (||u|| ||v||)

Onde u e v são os vetores dados, ||u|| e ||v|| são seus módulos e (u . v) é o produto escalar entre eles.

(a) 
u = (2, 1)
v = (4, 6)

||u|| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5)
||v|| = sqrt(4^2 + 6^2) = 2sqrt(13)
(u . v) = 2*4 + 1*6 = 14

cos θ = 14 / (sqrt(5) * 2sqrt(13)) = 14 / (2sqrt(65))
θ = arccos(14 / (2sqrt(65))) ≈ 0,37 rad ≈ 21,2°

(b)
u = (7, 5)
v = (1, 2)

||u|| = sqrt(7^2 + 5^2) = sqrt(74)
||v|| = sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(5)
(u . v) = 7*1 + 5*2 = 17

cos θ = 17 / (sqrt(74) * sqrt(5)) = 17 / sqrt(370)
θ = arccos(17 / sqrt(370)) ≈ 0,22 rad ≈ 12,6°

(c)
u = (-2, 0)
v = (3, -1)

||u|| = sqrt((-2)^2 + 0^2) = 2
||v|| = sqrt(3^2 + (-1)^2) = sqrt(10)
(u . v) = -2*3 + 0*(-1) = -6

cos θ = -6 / (2 * sqrt(10)) = -3 / sqrt(10)
θ = arccos(-3 / sqrt(10)) ≈ 2,77 rad ≈ 158,9°

(d)
u = (4, 3)
v = (4, 5)

||u|| = sqrt(4^2 + 3^2) = 5
||v|| = sqrt(4^2 + 5^2) = sqrt(41)
(u . v) = 4*4 + 3*5 = 23

cos θ = 23 / (5 * sqrt(41))
θ = arccos(23 / (5 * sqrt(41))) ≈ 0,39 rad ≈ 22,4°

(e)
u = (2, 1, 4)
v = (4, 6, -5)

||u|| = sqrt(2^2 + 1^2 + 4^2) = sqrt(21)
||v|| = sqrt(4^2 + 6^2 + (-5)^2) = 3sqrt(29)
(u . v) = 2*4 + 1*6 + 4*(-5) = -14

cos θ = -14 / (sqrt(21) * 3sqrt(29)) = -14 / (3sqrt(609))
θ = arccos(-14 / (3sqrt(609))) ≈ 2,23 rad ≈ 127,7°

(f)
u = (-3, 1, -2)
v = (0, 1, -1)

||u|| = sqrt(3^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(14)
||v|| = sqrt(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(2)
(u . v) = -3*0 + 1*1 + (-2)*(-1) = 3

cos θ = 3 / (sqrt(14) * sqrt(2)) = 3 / (2sqrt(7))
θ = arccos(3 / (2sqrt(7))) ≈ 0,57 rad ≈ 32,7°

(g)
u = (1, 1, -3)
v = (1, -1, 2)

||u|| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-3)^2) = sqrt(11)
||v|| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(6)
(u . v) = 1*1 + 1*(-1) + (-3)*2 = -7

cos θ = -7 / (sqrt(11) * sqrt(6)) = -7 / (sqrt(66))
θ = arccos(-7 / (sqrt(66))) ≈ 2,28 rad ≈ 130,9°

(h)
u = (-2, -1, 3)
v = (-4, 3, -1)

||u|| = sqrt((-2)^2 + (-1)^2 + 3^2) = sqrt(14)
||v|| = sqrt((-4)^2 + 3^2 + (-1)^2) = sqrt(26)
(u . v) = (-2)*(-4) + (-1)*3 + 3*(-1) = 11

cos θ = 11 / (sqrt(14) * sqrt(26)) = 11 / (2sqrt(91))
θ = arccos(11 / (2sqrt(91))) ≈ 0,47 rad ≈ 27,1°

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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