11. Verificar se A, B, C e D são pontos coplanares nos casos abaixo: (a) A = ( 1, 1, 0 ), B = ( 0, 2, 3 ), C = ( 2, 0,−1 )e D = ( −1, 3, 5 ). (b) ...

Para verificar se os pontos A, B, C e D são coplanares, podemos utilizar a fórmula da determinante. Se a determinante da matriz formada pelos vetores AB, AC e AD for igual a zero, então os pontos são coplanares. Caso contrário, não são coplanares. (a) Para os pontos A, B, C e D dados, temos: AB = B - A = (-1, 1, 3) AC = C - A = (1, -1, -1) AD = D - A = (-2, 2, 5) Montando a matriz com esses vetores: | -1 1 3 | | 1 -1 -1 | | -2 2 5 | Calculando a determinante dessa matriz, temos: -1 * (-1 * 5 - 2 * 2) - 1 * (1 * 5 - 2 * 3) + 3 * (1 * 2 - (-1) * (-2)) = 0 Como a determinante é igual a zero, os pontos A, B, C e D são coplanares. (b) Para os pontos A, B, C e D dados, temos: AB = B - A = (-1, -4, 5) AC = C - A = (3, -4, 3) AD = D - A = (-1, 0, 2) Montando a matriz com esses vetores: | -1 -1 5 | | -4 -4 -3 | | -1 0 2 | Calculando a determinante dessa matriz, temos: -1 * (-4 * 2 - 0 * (-3)) - (-1) * (-1 * 2 - (-3) * (-1)) + 5 * (-1 * (-4) - (-1) * (-4)) = -6 Como a determinante é diferente de zero, os pontos A, B, C e D não são coplanares. (c) Para os pontos A, B, C e D dados, temos: AB = B - A = (0, 1, 0) AC = C - A = (2, -1, 0) AD = D - A = (4, 6, 9) Montando a matriz com esses vetores: | 0 1 0 | | 2 -1 0 | | 4 6 9 | Calculando a determinante dessa matriz, temos: 0 * (-1 * 9 - 6 * 0) - 1 * (2 * 9 - 6 * 0) + 0 * (2 * (-1) - 4 * 0) = -18 Como a determinante é diferente de zero, os pontos A, B, C e D não são coplanares.