15. (Unirio) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 8 km e AC = 12 km, onde A é uma ...
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 8 km e AC = 12 km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura anterior.
Logo, a distância entre B e C, em km, é:
Lei dos Cossenos:
a) menor que 9.
b) maior que 9 e menor que 10.
c) maior que 10 e menor que 11.
d) maior que 11 e menor que 12.
e) maior que 12.
O enunciado apresenta um problema de geometria plana.
O problema envolve a determinação da distância entre dois pontos em um mapa a partir da medida de dois segmentos e da aplicação da lei dos cossenos.
a) menor que 9.
b) maior que 9 e menor que 10.
c) maior que 10 e menor que 11.
d) maior que 11 e menor que 12.
e) maior que 12.
💡 1 Resposta
Ed 
Para resolver esse problema, podemos utilizar a Lei dos Cossenos, que é uma fórmula que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno do ângulo oposto. No triângulo ABC, temos: BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cos(ângulo BAC) Substituindo os valores que temos, temos: BC² = 8² + 12² - 2.8.12.cos(ângulo BAC) BC² = 64 + 144 - 192.cos(ângulo BAC) BC² = 208 - 192.cos(ângulo BAC) Agora, precisamos encontrar o valor do cosseno do ângulo BAC. Podemos fazer isso utilizando a Lei dos Senos, que é outra fórmula da geometria plana. No triângulo ABC, temos: sen(BAC)/AC = sen(ABC)/BC sen(BAC)/12 = sen(90)/8 sen(BAC) = 12/8 sen(BAC) = 3/2 Mas como o seno de um ângulo não pode ser maior que 1, concluímos que não existe um triângulo com essas medidas. Portanto, a resposta correta é letra A) menor que 9.
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