Grátis: Sejam r e s ∈Z (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17. Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se...

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Sejam r e s ∈Z (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.

Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.

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IME-RJ 2012 - Vestibular - Questões Dissertativa - Prova de Matemática

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Para provar que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17, precisamos provar duas coisas: 1. Se (2r + 3s) é múltiplo de 17, então (9r + 5s) é múltiplo de 17. 2. Se (9r + 5s) é múltiplo de 17, então (2r + 3s) é múltiplo de 17. Para provar a primeira afirmação, podemos usar a seguinte estratégia: 1. Suponha que (2r + 3s) é múltiplo de 17. 2. Então, podemos escrever (2r + 3s) = 17k, onde k é um número inteiro. 3. Multiplicando ambos os lados por 4, obtemos: 8r + 12s = 68k. 4. Subtraindo 3 vezes a segunda equação da primeira, obtemos: (8r - 15s) = 17k - 3(5s). 5. Substituindo 5s por (9r - 17k) (que é múltiplo de 17, pois 9r é múltiplo de 17), obtemos: (8r - 15s) = 0 + 17m, onde m é um número inteiro. 6. Portanto, concluímos que (9r + 5s) é múltiplo de 17. Para provar a segunda afirmação, podemos usar a seguinte estratégia: 1. Suponha que (9r + 5s) é múltiplo de 17. 2. Então, podemos escrever (9r + 5s) = 17k, onde k é um número inteiro. 3. Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos: 18r + 10s = 34k. 4. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: (9r + 5s) - (2r + 3s) = 17k - 17m, onde m é um número inteiro. 5. Simplificando, obtemos: 7r + 2s = 17n, onde n é um número inteiro. 6. Portanto, concluímos que (2r + 3s) é múltiplo de 17. Assim, provamos que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.

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