Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2,3). A reta r intercepta a curva x^2 – 2xy – y^2 = 0 nos pontos A e B. Determine: a) o lugar geométric...

a) Para determinar o lugar geométrico definido pela curva, podemos reescrever a equação x^2 - 2xy - y^2 = 0 como (x-y)^2 - 2y^2 = 0. Isso nos dá a equação de uma hipérbole com vértices em (0,0) e (0,0) e eixos ao longo das retas y = x e y = -x. b) Para encontrar a equação da reta r, podemos usar a equação da razão de divisão de um ponto P(x1,y1) em relação a dois pontos A(x2,y2) e B(x3,y3), que é dada por: PA/PB = [(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2] / [(x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2] Substituindo os valores conhecidos, temos: 17 = [(2 - x2)^2 + (3 - y2)^2] / [(2 - x3)^2 + (3 - y3)^2] Como a reta r passa pelo ponto P(2,3), podemos escrever a equação da reta na forma ponto-inclinação: y - 3 = m(x - 2) Substituindo y por mx - 2m + 3 na equação da curva x^2 - 2xy - y^2 = 0, obtemos uma equação quadrática em x. Resolvendo essa equação, encontramos as coordenadas dos pontos A e B. Substituindo esses valores na equação da razão de divisão, podemos encontrar a inclinação m da reta r. Com a inclinação e o ponto P, podemos escrever a equação da reta r.