Calcule ambos os lados do Teorema da Divergência para o campo D = 2xyâx mC-2. e um paralelepípedo retângulo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y =...

O Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss, relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a divergência do campo no interior da superfície. Para calcular ambos os lados do teorema da divergência para o campo D = 2xyâx mC-2 e um paralelepípedo retângulo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = -1, y = 1, z =-1 e z = 1, podemos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a divergência do campo D: div(D) = ∂(2xy)/∂x = 2y 2. Calcular o fluxo do campo D através da superfície fechada: ∫∫S D.n dS = ∫∫∫V div(D) dV Onde S é a superfície fechada do paralelepípedo retângulo e V é o volume do paralelepípedo retângulo. 3. Para calcular o fluxo do campo D através da superfície fechada, podemos dividir a superfície em seis faces e calcular o fluxo através de cada face. Como o campo D é paralelo ao eixo x, o fluxo através das faces com normal paralela ao eixo x será zero. Portanto, precisamos calcular apenas o fluxo através das faces com normal paralela aos eixos y e z. 4. Para a face com normal paralela ao eixo y, temos: ∫∫S1 D.n dS = ∫∫S1 2xy dy dz = 0 Pois a integral em y é simétrica em relação ao plano y = 0. 5. Para a face com normal paralela ao eixo z, temos: ∫∫S2 D.n dS = ∫∫S2 2xy dx dy = 0 Pois a integral em z é simétrica em relação ao plano z = 0. 6. Portanto, o fluxo total do campo D através da superfície fechada é zero. 7. Como a divergência do campo D é 2y, podemos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume do paralelepípedo retângulo: ∫∫∫V div(D) dV = ∫-1¹ ∫-1¹ ∫0¹ 2y dx dy dz = 0 Pois a integral em y é simétrica em relação ao plano y = 0 e a integral em x é zero, pois o campo D é nulo nos planos x = 0 e x = 1. 8. Portanto, ambos os lados do Teorema da Divergência são iguais a zero.