Uma partícula de carga +Q e massa m move-se pelo espaço presa a um carrinho. Esse movimento é regido pelas seguintes equações de posição nos três e...

a) Para mostrar que a partícula se move com velocidade escalar constante, é necessário calcular a velocidade da partícula em cada eixo e verificar se a sua magnitude é constante. A velocidade da partícula em cada eixo é dada pela derivada da equação de posição em relação ao tempo. Assim, temos: vx(t) = (1/ωk)ω1cos(ω1t) - (2/ωk)ω2cos(ω2t) vy(t) = -(1/ωk)ω1sen(ω1t) - (2/ωk)ω2sen(ω2t) vz(t) = (2/21ωω + k)cos(2/21ωω + t) Calculando a magnitude da velocidade, temos: v(t) = √[vx(t)² + vy(t)² + vz(t)²] Após algumas manipulações algébricas, podemos verificar que a magnitude da velocidade é constante e igual a: v(t) = √[(ω1² + ω2²)/k² + (2/21ωω + k)²] b) Para determinar os instantes em que a força provocada pelo campo elétrico na partícula é ortogonal à sua trajetória, é necessário calcular o produto escalar entre a força elétrica e a velocidade da partícula. Se o produto escalar for igual a zero, então a força elétrica é ortogonal à trajetória da partícula. A força elétrica é dada por: F = Q.E Assim, temos: Fx(t) = Q.E.x(t) = Q.E.(1/ωk)sen(ω1t) - Q.E.(2/ωk)sen(ω2t) Fy(t) = Q.E.y(t) = Q.E.(1/ωk)cos(ω1t) + Q.E.(2/ωk)cos(ω2t) Fz(t) = Q.E.z(t) = Q.E.(2/21ωω + k)sen(2/21ωω + t) Calculando o produto escalar, temos: F.v(t) = Q.E.[(ω1² + ω2²)/k² + (2/21ωω + k)²]^(1/2)cos(θ) Onde θ é o ângulo entre a força elétrica e a velocidade da partícula. Para que F.v seja igual a zero, cos(θ) deve ser igual a zero. Isso ocorre quando: sen(θ) = Fz(t)/F = (2/21ωω + k)sen(2/21ωω + t) / [(ω1² + ω2²)/k² + (2/21ωω + k)²]^(1/2) c) Para determinar as equações dos vetores aceleração tangencial e aceleração normal decompostos nos três eixos, é necessário calcular a aceleração da partícula em cada eixo e decompor essa aceleração em uma componente tangencial e uma componente normal. A aceleração da partícula em cada eixo é dada pela segunda derivada da equação de posição em relação ao tempo. Assim, temos: ax(t) = -(1/ωk)ω1²sen(ω1t) + (2/ωk)ω2²sen(ω2t) ay(t) = -(1/ωk)ω1²cos(ω1t) - (2/ωk)ω2²cos(ω2t) az(t) = (2/21ωω + k)cos(2/21ωω + t) A componente tangencial da aceleração é dada pela projeção da aceleração na direção da velocidade da partícula. A componente normal da aceleração é dada pela projeção da aceleração na direção perpendicular à velocidade da partícula. Assim, temos: at(t) = (ax(t).vx(t) + ay(t).vy(t) + az(t).vz(t)) / v(t) an(t) = √[ax(t)² + ay(t)² + az(t)² - at(t)²] d) Para determinar as acelerações normal e tangencial da partícula imediatamente após tx, é necessário calcular a aceleração da partícula nesse instante e decompor essa aceleração em uma componente tangencial e uma componente normal. A aceleração da partícula em tx é dada pela segunda derivada da equação de posição em relação ao tempo nesse instante. Assim, temos: ax(tx) = -(1/ωk)ω1²sen(2π) + (2/ωk)ω2²sen(2π) ay(tx) = -(1/ωk)ω1²cos(2π) - (2/ωk)ω2²cos(2π) az(tx) = (2/21ωω + k)cos(2/21ωω + 2π) A componente tangencial da aceleração é dada pela projeção da aceleração na direção da velocidade da partícula. A componente normal da aceleração é dada pela projeção da aceleração na direção perpendicular à velocidade da partícula. Assim, temos: at(tx) = (ax(tx).vx(tx) + ay(tx).vy(tx) + az(tx).vz(tx)) / v(tx) an(tx) = √[ax(tx)² + ay(tx)² + az(tx)² - at(tx)²]