Um corpo luminoso encontra-se posicionado sobre o eixo óptico de uma lente esférica convergente de distância focal f, distando d do vértice da lent...

Esse é um problema de óptica geométrica e mecânica clássica. Para resolver, podemos utilizar a equação de Gauss para lentes esféricas e as equações do movimento uniformemente acelerado. Primeiramente, podemos utilizar a equação de Gauss para lentes esféricas para determinar a posição da imagem do corpo luminoso produzida pela lente. Sabemos que a distância focal f da lente é 1,2 m e que o objeto está a uma distância d = 2 m do vértice da lente. Portanto, podemos escrever: 1/f = 1/p + 1/q onde p é a distância do objeto ao vértice da lente e q é a distância da imagem ao vértice da lente. Como o objeto está sobre o eixo óptico da lente, temos que p = d = 2 m. Substituindo esses valores na equação acima, encontramos: 1/1,2 = 1/2 + 1/q Simplificando, temos: q = 0,857 m Portanto, a imagem do corpo luminoso produzida pela lente está a uma distância de 0,857 m do vértice da lente. Agora, podemos utilizar as equações do movimento uniformemente acelerado para determinar o ângulo de lançamento θ necessário para que a distância entre o eixo óptico da lente e a imagem do corpo luminoso produzida pela lente varie linearmente com o tempo. Sabemos que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s² e que o corpo luminoso é lançado com velocidade v = 4 m/s formando um ângulo θ com a horizontal. Portanto, podemos escrever as equações do movimento nas direções horizontal e vertical: x = v₀x·t y = v₀y·t - (1/2)·g·t² onde x é a distância horizontal percorrida pelo corpo luminoso, y é a distância vertical percorrida pelo corpo luminoso, v₀x é a componente horizontal da velocidade inicial (v₀x = v·cos(θ)) e v₀y é a componente vertical da velocidade inicial (v₀y = v·sen(θ)). Para que a distância entre o eixo óptico da lente e a imagem do corpo luminoso produzida pela lente varie linearmente com o tempo, precisamos que a distância x entre o corpo luminoso e o eixo óptico da lente varie linearmente com o tempo. Isso significa que a velocidade horizontal v₀x deve ser constante. Portanto, podemos escrever: v₀x = v·cos(θ) = constante Derivando em relação ao tempo, temos: dv₀x/dt = 0 dv/dt·cos(θ) - v·sen(θ)·dθ/dt = 0 Como v = 4 m/s e g = 10 m/s², podemos escrever: dv/dt = -g = -10 m/s² Substituindo esses valores na equação acima, temos: -10·cos(θ) - 4·sen(θ)·dθ/dt = 0 Simplificando, temos: tan(θ)·dθ/dt = -2,5 Integrando em relação ao tempo, temos: ∫tan(θ)·dθ = -2,5·∫dt ln|sec(θ)| = -2,5·t + C onde C é uma constante de integração. Aplicando exponencial em ambos os lados, temos: sec(θ) = e^(-2,5·t+C) Como queremos que a distância entre o eixo óptico da lente e a imagem do corpo luminoso produzida pela lente varie linearmente com o tempo, podemos escrever: q - x = k·t onde k é uma constante de proporcionalidade. Substituindo as expressões para q e x, temos: 0,857 - v₀x·t = k·t Substituindo a expressão para v₀x, temos: 0,857 - v·cos(θ)·t = k·t Isolando cos(θ), temos: cos(θ) = (0,857 - k·t) / (v·t) Substituindo essa expressão na equação para sec(θ), temos: sec(θ) = e^(-2,5·t+C) = 1 / cos(θ) = v·t / (0,857 - k·t) Igualando as duas expressões para sec(θ), temos: v·t / (0,857 - k·t) = e^(-2,5·t+C) Resolvendo para k, temos: k = (0,857 - v·t·e^(-2,5·t+C)) / t Substituindo os valores de v, t, e C, temos: k = (0,857 - 4·e^(-2,5·t+ln(2))) / t Agora podemos substituir o valor de k na expressão para cos(θ) e encontrar o valor de θ para o instante anterior ao de retorno do corpo luminoso ao eixo óptico da lente. Por exemplo, para t = 1 s, temos: k = (0,857 - 4·e^(-2,5·1+ln(2))) / 1 = 0,276 cos(θ) = (0,857 - 0,276·1) / (4·1) = 0,145 θ = arccos(0,145) = 1,42 rad ≈ 81,4° Portanto, o ângulo de lançamento θ necessário para que a distância entre o eixo óptico da lente e a imagem do corpo luminoso produzida pela lente varie linearmente com o tempo, até o instante anterior ao de seu retorno ao eixo óptico, é de aproximadamente 81,4 graus.