O método de eliminação LU é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz...
Cálculo Numérico Ead
Francialta Da Silva

Question

O método de eliminação LU é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper). Às vezes se deve pré-multiplicar a matriz a ser decomposta por uma matriz de permutação. Esta decomposição se usa em análise numérica para resolver sistemas de equações (mais eficientemente) ou encontrar as matrizes inversas.. Se x, y, e z são as soluções dos sistemas abaixo, então, calcule (x.y.z). Resolva os sistemas pelo método da eliminação LU

a. x=3 y=2 z=1
b. x=-2 y=1 z=1
c. x=2 y=1 z=3
d. x=1 y=3 z=2
e. x=1 y=2 z=3

Ed · Answer

Para resolver os sistemas pelo método da eliminação LU, primeiro precisamos decompor a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior (L) e uma matriz triangular superior (U), além de uma matriz de permutação (P), se necessário. Em seguida, resolvemos o sistema Ly = Pb e, finalmente, resolvemos o sistema Ux = y.

a) Sistema:
3x + 2y + z = 14
2x + 3y + 2z = 17
x + 2y + 4z = 23

Decompondo a matriz dos coeficientes em L e U, temos:
|3  2  1|   |1  0  0|   |3  2  1|
|2  3  2| = |2  1  0| x |0  1  2|
|1  2  4|   |1  0  1|   |0  0  2|

Resolvendo o sistema Ly = Pb, temos:
|1  0  0|   |y1|   |0|
|2  1  0| x |y2| = |0|
|3  2  1|   |y3|   |1|

y1 = 0
2y1 + y2 = 0
3y1 + 2y2 + y3 = 1

y1 = 0
y2 = 0
y3 = 1

Por fim, resolvemos o sistema Ux = y:
|3  2  1|   |x1|   |0|
|0  1  2| x |x2| = |0|
|0  0  2|   |x3|   |1|

3x1 + 2x2 + x3 = 0
x2 + 2x3 = 0
2x3 = 1

x1 = -1/2
x2 = -1/4
x3 = 1/2

(x.y.z) = (-1/2, -1/4, 1/2)

b) Sistema:
-x + y + z = 2
2x - y + z = 3
x + y - z = 0

Decompondo a matriz dos coeficientes em L e U, temos:
|-2  1  1|   |1  0  0|   |-2  1  1|
| 2 -1  1| = |0  1  0| x | 0 -3  3|
| 1  1 -1|   |0  0  1|   | 0  0 -2|

Resolvendo o sistema Ly = Pb, temos:
|1  0  0|   |y1|   |0|
|0  1  0| x |y2| = |-3|
|0  0  1|   |y3|   |2|

y1 = 0
y2 = -3
y3 = 2

Por fim, resolvemos o sistema Ux = y:
|-2  1  1|   |x1|   |0|
| 0 -3  3| x |x2| = |-3|
| 0  0 -2|   |x3|   |2|

-2x1 + x2 + x3 = 0
-3x2 + 3x3 = -3
-2x3 = 2

x1 = -1
x2 = -1
x3 = -1

(x.y.z) = (-1, -1, -1)

c) Sistema:
2x + y + 3z = 15
4x + 3y + 2z = 22
3x + 2y + z = 13

Decompondo a matriz dos coeficientes em L e U, temos:
|2  1  3|   |1  0  0|   |2  1  3|
|4  3  2| = |2  1  0| x |0  1 -2|
|3  2  1|   |1 -1  1|   |0  0 -2|

Resolvendo o sistema Ly = Pb, temos:
|1  0  0|   |y1|   |0|
|2  1  0| x |y2| = |-1|
|3  2 -2|   |y3|   |2|

y1 = 0
2y1 + y2 = -1
3y1 + 2y2 - 2y3 = 2

y1 = 0
y2 = -1
y3 = -1

Por fim, resolvemos o sistema Ux = y:
|2  1  3|   |x1|   |0|
|0  1 -2| x |x2| = |-1|
|0  0 -2|   |x3|   |-1|

2x1 + x2 + 3x3 = 0
x2 - 2x3 = -1
-2x3 = -1

x1 = 1
x2 = 1
x3 = 1/2

(x.y.z) = (1, 1, 1/2)

d) Sistema:
x + 3y + 2z = 14
3x + 2y + z = 11
2x + y + 3z = 11

Decompondo a matriz dos coeficientes em L e U, temos:
|1  3  2|   |1  0  0|   |1  3  2|
|3  2  1| = |3  1  0| x |0 -7 -5|
|2  1  3|   |2 -1  1|   |0  0  4|

Resolvendo o sistema Ly = Pb, temos:
|1  0  0|   |y1|   |0|
|3  1  0| x |y2| = |-3|
|2 -1  4|   |y3|   |1|

y1 = 0
3y1 + y2 = -3
2y1 - y2 + 4y3 = 1

y1 = 0
y2 = -3
y3 = 1/2

Por fim, resolvemos o sistema Ux = y:
|1

O método de eliminação LU é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz...

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