Exemplo 2: Um campo de velocidade é dado por ???? = ???????? ???? − ???????? ???? . As unidades de velocidade são em m/s; x e y são em metros. A = 0,3s-1. a)...

a) Para obter a equação das linhas de corrente, igualamos o campo de velocidade a uma constante k, que representa o fluxo de massa constante ao longo da linha de corrente. Assim, temos: v_x = ψ_x = k v_y = ψ_y = -A*y + k Integrando a primeira equação em relação a x, temos: ψ = k*x + C Substituindo na segunda equação, temos: v_y = -A*y + k = ψ_y - A*y + k = C1 y = (-1/A)*(k - C1) Portanto, a equação das linhas de corrente é dada por: ψ(x,y) = k*x + (-1/A)*(k - C1)*y + C2 b) Para traçar a linha de corrente que passa pelo ponto (2,8), precisamos encontrar o valor de k. Substituindo as coordenadas do ponto na equação das linhas de corrente, temos: ψ(2,8) = k*2 + (-1/0,3)*(k - C1)*8 + C2 Como a linha de corrente passa pelo ponto (2,8), temos que ψ(2,8) é constante. Assim, podemos escolher um valor para k e encontrar os valores de C1 e C2 que satisfazem essa condição. Por exemplo, podemos escolher k = 0 e obter: C1 = -24 C2 = 16 Portanto, a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (2,8) é: ψ(x,y) = -8*y - 24*x + 16 c) Para determinar a velocidade de uma partícula no ponto (2,8), basta substituir as coordenadas do ponto no campo de velocidade: v_x(2,8) = 0 v_y(2,8) = -A*8 + k = -2,4 + k Portanto, a velocidade da partícula no ponto (2,8) é (0, -2,4 + k) m/s. d) Se a partícula passando pelo ponto (2,8) no instante t = 0 for marcada, sua posição no instante t = 6s será dada por: x(t) = x0 + ∫v_x dt y(t) = y0 + ∫v_y dt Integrando as equações do campo de velocidade, temos: x(t) = 2 y(t) = 8 - 1,2t + k*t Substituindo t = 6s e k = 0, temos: x(6) = 2 y(6) = 0,8 Portanto, a partícula estará na posição (2,0,8) m no instante t = 6s.