Seja X o subconjunto dos números inteiros dado por {0,1,2,3,4,5}. Quantos pares distintos (A,B) de subconjuntos A e B de X existem tais que AC – B ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula de inclusão-exclusão. Primeiro, vamos contar quantos pares (A,B) satisfazem AC - B = {0} e quantos satisfazem AC - B = {1}. Depois, subtraímos o número de pares que satisfazem AC - B = {0,1}. Para AC - B = {0}, temos que A pode ser qualquer subconjunto de X, exceto o conjunto vazio, que não é permitido. Portanto, temos 2^6 - 1 = 63 possibilidades para A. Para B, temos que escolher um subconjunto de A, o que nos dá 2^|A| possibilidades. Como AC - B = {0}, temos que |A| - |B| = 6, ou seja, |B| = |A| - 6. Portanto, o número de pares (A,B) que satisfazem AC - B = {0} é dado por: ∑(2^|A|) = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^6 = 2^7 - 1 = 127 Para AC - B = {1}, temos que A pode ser qualquer subconjunto de X com pelo menos um elemento, o que nos dá 2^6 - 1 = 63 possibilidades para A. Para B, temos que escolher um subconjunto de A com um número par de elementos, o que nos dá 2^(|A|/2) possibilidades. Como AC - B = {1}, temos que |A| - |B| = 5, ou seja, |B| = |A| - 5. Portanto, o número de pares (A,B) que satisfazem AC - B = {1} é dado por: ∑(2^(|A|/2)) = 2^1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^3 = 14 Para AC - B = {0,1}, temos que A pode ser qualquer subconjunto de X com pelo menos dois elementos, o que nos dá 2^6 - 1 - 6 - 1 = 56 possibilidades para A (subtraindo o conjunto vazio e os conjuntos com um único elemento). Para B, temos que escolher um subconjunto de A com um número ímpar de elementos, o que nos dá 2^((|A|-1)/2) possibilidades. Como AC - B = {0,1}, temos que |A| - |B| = 5, ou seja, |B| = |A| - 5. Portanto, o número de pares (A,B) que satisfazem AC - B = {0,1} é dado por: ∑(2^((|A|-1)/2)) = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^3 = 15 Subtraindo o número de pares que satisfazem AC - B = {0,1} do número de pares que satisfazem AC - B = {0} e AC - B = {1}, temos: 127 + 14 - 15 = 126 Portanto, a resposta correta é a letra A) 16.