Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, obtemos a expressão x yn 2 5 ,=  onde x e y são números inteiros positivos. Se n admite exata- ment...

Podemos utilizar a fórmula para encontrar o número de divisores de um número inteiro positivo, que é dada por (a+1)(b+1)(c+1)..., onde a, b, c, ... são os expoentes dos fatores primos da fatoração do número. No caso, temos que n = x * y * n^25, onde n^25 é um número inteiro positivo. Como n tem exatamente 12 divisores, podemos escrever 12 como (a+1)(b+1)(c+1), onde a, b, c são os expoentes dos fatores primos de n. Como n é menor do que 199, podemos testar os valores possíveis para a e b: - Se a = 0, então b(c+1) = 11. Como 11 é um número primo, temos as seguintes possibilidades: b = 10 e c = 0, b = 2 e c = 5, b = 5 e c = 2, b = 1 e c = 10. Nenhuma dessas possibilidades é menor do que 199, então descartamos a = 0. - Se a = 1, então b(c+1) = 5. As possibilidades são: b = 4 e c = 0, b = 1 e c = 4. Testando esses valores, encontramos que n = 2^4 * 3^4 * 5^25 = 6480000000000000000000000, e x y+ = 2+3 = 5. Portanto, a alternativa correta é a letra a) 5.