Determine o valor de (9+n + p), sabendo que → u ( 1 , 4 , − 1 ) , → v ( − 1 , 0 , 2 ) e → u x → v = ( 8 , n , n − p ) , n e p reais.

Podemos utilizar a propriedade do produto vetorial que diz que o módulo do produto vetorial entre dois vetores é igual ao produto dos módulos dos vetores multiplicado pelo seno do ângulo formado entre eles. Assim, temos: |u x v| = |u| |v| senθ Sabemos que |u x v| = √(8² + n² + (n-p)²) = √(2n² - 2np + 65) e que |u| = √18 e |v| = √6. Além disso, o ângulo θ formado entre os vetores pode ser encontrado através do produto escalar: u . v = |u| |v| cosθ Substituindo os valores, temos: (1)(-1) + (4)(0) + (-1)(2) = √18 √6 cosθ -1 = √(108) cosθ cosθ = -1/√108 Agora podemos calcular o seno do ângulo: senθ = √(1 - cos²θ) = √(1 - 1/108) = √(107/108) Substituindo todos os valores na equação inicial, temos: √(2n² - 2np + 65) = √18 √6 √(107/108) 2n² - 2np + 65 = 18*6*(107/108) 2n² - 2np + 65 = 107 2n² - 2np = 42 Agora, podemos utilizar as informações dadas para encontrar o valor de (9+n+p): u x v = (8, n, n-p) (1, 4, -1) x (-1, 0, 2) = (8, n, n-p) n - 8 = 2 n = 10 n - p + 4 = 0 p = 10 - 4 p = 6 Substituindo os valores de n e p na equação 2n² - 2np = 42, temos: 2(10)² - 2(10)(6) = 20 200 - 120 = 20 80 = 20 A equação não tem solução real, portanto não é possível determinar o valor de (9+n+p).