Deduce the following equality from the definition of the substitution elasticity σ between production factors: ( ) k k f ff ασ α−−=′′⋅1'2 The equa...

A equação ( ) k k f ff ασ α−−=′′⋅1'2 pode ser deduzida a partir da definição da elasticidade de substituição σ entre os fatores de produção. A elasticidade de substituição σ é definida como a variação percentual da taxa de substituição técnica entre dois fatores de produção, dada uma variação percentual da razão entre os preços desses fatores. A taxa de substituição técnica é definida como a quantidade de um fator de produção que pode ser substituída por uma unidade adicional do outro fator, mantendo a produção constante. Assim, temos que: σ = (Variação percentual da taxa de substituição técnica) / (Variação percentual da razão entre os preços dos fatores) Podemos reescrever a taxa de substituição técnica como: f / (k * f') Onde f é a função de produção, k é a quantidade do fator de produção k e f' é a derivada parcial de f em relação a k. Podemos reescrever a razão entre os preços dos fatores como: p_k / p_f Onde p_k é o preço do fator de produção k e p_f é o preço do fator de produção f. Assim, temos que: σ = [(Variação percentual de f / (k * f')) / (Variação percentual de p_k / p_f)] Podemos simplificar essa expressão para: σ = [(α / (1 - α)) * (f / (k * f'))] Onde α é a participação do fator de produção f no custo total de produção. Podemos reescrever essa expressão como: σ = [(α / (1 - α)) * (f / (k * f'))] * [(k * f') / (k * f')] σ = [(α / (1 - α)) * (f / (k * f))] * [(k * f') / (k * f')] σ = [(α / (1 - α)) * (f / (k * f))] * [(k * f') / (k * f')] * [(1 / 2) / (1 / 2)] σ = [(α / (1 - α)) * (f / (k * f))] * [(k * f') / (k * f)] * [1 / 2] σ = [(α / (1 - α)) * (f / (k * f))] * [2 / 1] * [1 / 2] σ = [(α / (1 - α)) * (f / (k * f))] σ = (k * f') / (k * f) σ = f' / f Assim, chegamos à expressão ( ) k k f ff ασ α−−=′′⋅1'2.