Seja a um número real satisfazendo 0 < ???? < ????/2. Então, a soma de todos os valores de ???? ∈ [0, 2????] que satisfazem a equação cos(????) sen(???? + ????) ...

Podemos resolver essa questão utilizando identidades trigonométricas. Começamos utilizando a identidade trigonométrica para o produto de senos: sen(α)sen(β) = (cos(α-β) - cos(α+β))/2 Aplicando essa identidade na equação dada, temos: cos(θ)sen(θ+φ) = sen(θ) cos(θ)sen(θ)cos(φ) + cos²(θ)sen(φ) = sen(θ) cos(θ)sen(φ) = sen(θ) - cos²(θ)sen(φ) cos(θ)sen(φ) + cos²(θ)sen(φ) = sen(θ) sen(φ)(cos(θ) + cos²(θ)) = sen(θ) sen(φ) = sen(θ)/(cos(θ) + cos²(θ)) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para a soma de cossenos: cos(α) + cos(β) = 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) Aplicando essa identidade em cos(θ) + cos²(θ), temos: cos(θ) + cos²(θ) = 2cos(θ/2)cos(θ/2) cos(θ) + cos²(θ) = 2cos²(θ/2) Substituindo na equação de sen(φ), temos: sen(φ) = sen(θ)/(2cos²(θ/2)) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o seno da metade do ângulo: sen(α/2) = ±√[(1-cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação de sen(φ), temos: sen(φ) = sen(θ)/(2(1+cos(θ))) sen(φ) = sen(θ)/(2+2cos(θ)) sen(φ) = sen(θ)/(4cos²(θ/2)) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o seno do dobro do ângulo: sen(2α) = 2sen(α)cos(α) Aplicando essa identidade em sen(θ), temos: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) sen(2θ) = 2sen(θ)√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação de sen(φ), temos: 2sen(θ)√[(1+cos(θ))/2] = sen(θ)/(4cos²(θ/2)) 8sen(θ)√[(1+cos(θ))/2]cos²(θ/2) = sen(θ) 8sen(θ)√[(1+cos(θ))/2]cos(θ/2) = sen(θ) 16sen(θ)√[(1+cos(θ))/2]cos(θ/2) = 2sen(θ) 8√[(1+cos(θ))/2]cos(θ/2) = 1 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 8cos(θ/2) = 1/√[(1+cos(θ))/2] 64cos²(θ/2) = 1/(1+cos(θ)) 64(1-sen²(θ/2)) = 1/(1+cos(θ)) 64-64sen²(θ/2) = 1/(1+cos(θ)) 64(1-cos²(θ/2)) = 1/(1+cos(θ)) 64cos²(θ/2) = 1/(1+cos(θ)) 64cos²(θ/2)(1+cos(θ)) = 1 64cos²(θ/2) + 64cos²(θ/2)cos(θ) = 1 64cos²(θ/2) + 32cos(θ/2)(1+cos(θ)) = 1 64cos²(θ/2) + 32cos(θ/2) + 32cos²(θ/2)cos(θ/2) = 1 96cos²(θ/2) + 32cos(θ/2)cos(θ) = 1 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o produto de cossenos: cos(α)cos(β) = (cos(α+β) + cos(α-β))/2 Aplicando essa identidade em cos(θ/2)cos(θ), temos: cos(θ/2)cos(θ) = (cos(3θ/2) + cos(θ/2))/2 Substituindo na equação anterior, temos: 96cos²(θ/2) + 16(cos(3θ/2) + cos(θ/2)) + 16cos(θ/2) = 1 96cos²(θ/2) + 16cos(3θ/2) + 32cos(θ/2) + 16cos(θ/2) = 1 96cos²(θ/2) + 48cos(θ/2) + 16cos(3θ/2) = 1 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno do triplo do ângulo: cos(3α) = 4cos³(α) - 3cos(α) Aplicando essa identidade em cos(3θ/2), temos: cos(3θ/2) = 4cos³(θ/2) - 3cos(θ/2) Substituindo na equação anterior, temos: 96cos²(θ/2) + 48cos(θ/2) + 16(4cos³(θ/2) - 3cos(θ/2)) = 1 96cos²(θ/2) + 48cos(θ/2) + 64cos³(θ/2) - 48cos(θ/2) = 1 96cos²(θ/2) + 64cos³(θ/2) = 1 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 96(1-sen²(θ/2)) + 64cos(θ/2) = 1 96-96sen²(θ/2) + 64cos(θ/2) = 1 96(1-cos²(θ/2)) + 64cos(θ/2) = 1 96cos²(θ/2) + 64cos(θ/2) = 95 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 96(1+cos(θ))/2 + 64cos(θ)/2 = 95 48(1+cos(θ)) + 32cos(θ) = 95 48 + 80cos(θ) = 95 cos(θ) = 47/80 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação de sen(φ), temos: sen(φ) = sen(θ)/(2cos²(θ/2)) sen(φ) = sen(θ)/(2(47/80)) sen(φ) = 40sen(θ)/47 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o seno do dobro do ângulo: sen(2α) = 2sen(α)cos(α) Aplicando essa identidade em sen(θ), temos: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) sen(2θ) = 2sen(θ)√[(1-cos²(θ))/2] sen(2θ) = 2sen(θ)√[(33/80)/2] sen(2θ) = 33/40sen(θ) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para a soma de senos: sen(α) + sen(β) = 2sen((α+β)/2)cos((α-β)/2) Aplicando essa identidade em sen(θ) + sen(2θ), temos: sen(θ) + sen(2θ) = 2sen(3θ/2)cos(θ/2) sen(θ) + 33/40sen(θ) = 2sen(3θ/2)cos(θ/2) 73/40sen(θ) = 2sen(3θ/2)cos(θ/2) 73/40sen(θ) = sen(5θ/2) + sen(θ/2) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para a soma de senos: sen(α) + sen(β) = 2sen((α+β)/2)cos((α-β)/2) Aplicando essa identidade em sen(5θ/2) + sen(θ/2), temos: sen(5θ/2) + sen(θ/2) = 2sen(3θ)cos(θ/2) sen(5θ/2) + sen(θ/2) = 2(3sen(θ) - 4sen³(θ/2))(√[(1+cos(θ))/2]) sen(5θ/2) + sen(θ/2) = 6sen(θ)√[(1+cos(θ))/2] - 8sen³(θ/2)√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 73/40sen(θ) = 6sen(θ)√[(1+cos(θ))/2] - 8sen³(θ/2)√[(1+cos(θ))/2] 73/40 = 6√[(1+cos(θ))/2] - 8sen²(θ/2)√[(1+cos(θ))/2] 73/40 = 6√[(1+cos(θ))/2] - 8(1-cos(θ/2))√[(1+cos(θ))/2] 73/40 = 6√[(1+cos(θ))/2] - 8√[(1+cos(θ))/2] + 8cos(θ/2)√[(1+cos(θ))/2] 73/40 = -2√[(1+cos(θ))/2] + 8cos(θ/2)√[(1+cos(θ))/2] 73/40 = √[(1+cos(θ))/2](8cos(θ/2) - 2) 73/20 = √(1+cos(θ))(4cos(θ/2) - 1) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 73/20 = √(2cos²(θ/2))(4cos(θ/2) - 1) 73/20 = 2cos(θ/2)√(2)(4cos(θ/2) - 1) 73/40√(2) = cos(θ/2)(4cos(θ/2) - 1) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 73/40√(2) = ±√[(1+cos(θ))/2](4√[(1+cos(θ))/2] - 1) 73/40√(2) = ±√(1+cos(θ))(4√(1+cos(θ)) - √(2)) Elevando ao quadrado, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(32+16√(2)cos(θ) - 2) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+16√(2)cos(θ)) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+16√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+8√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+8√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+8√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+4√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+4√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+4√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+2√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+2√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+2√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade do ângulo: cos(α/2) = ±√[(1+cos(α))/2] Aplicando essa identidade em cos(θ/2), temos: cos(θ/2) = ±√[(1+cos(θ))/2] Substituindo na equação anterior, temos: 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)cos(θ/2)) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√[(1+cos(θ))/2]) 5329/1600 = (1+cos(θ))(30+√(2)√(1+cos(θ))) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da metade