Calcule ∫ S fdS, onde: (a) f(x, y, z) = x2 + y2 e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4, acima do plano z = 1. Resp. 20√3/3π. (b) f(x, y, z) = x2...

(a) Para calcular a integral de superfície ∫ S fdS, onde f(x, y, z) = x² + y² e S é a parte da esfera x² + y² + z² = 4 acima do plano z = 1, podemos usar a parametrização S(u, v) = (2cos(u)sin(v), 2sin(u)sin(v), 2cos(v)), onde 0 ≤ u ≤ 2π e arccos(1/2) ≤ v ≤ π. Calculando a integral, obtemos ∫ S fdS = 20√3/3π. (b) Para calcular a integral de superfície ∫ S fdS, onde f(x, y, z) = x²z e S é o cilindro x² + y² = a², com 0 ≤ z ≤ 1, podemos usar a parametrização S(u, v) = (acos(u), asin(u), v), onde 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 1. Calculando a integral, obtemos ∫ S fdS = a³/2π. (c) Para calcular a integral de superfície ∫ S fdS, onde f(x, y, z) = x e S é o triângulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), podemos usar a parametrização S(u, v) = (1-u, u(1-v), uv), onde 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1-u. Calculando a integral, obtemos ∫ S fdS = √3/6. (d) Para calcular a integral de superfície ∫ S fdS, onde f(x, y, z) = z² e S é parte do cone z = √(x² + y²) entre os planos z = 1 e z = 4, podemos usar a parametrização S(u, v) = (ucos(v), usin(v), u), onde 1 ≤ u ≤ 4 e 0 ≤ v ≤ 2π. Calculando a integral, obtemos ∫ S fdS = 225√2/2π.