77. Determine o perímetro do triângulo ABC que verifica as seguintes condições: a) o vértice A pertence ao eixo dos x; b) o vértice B pertence ao...

Para determinar o perímetro do triângulo ABC, precisamos primeiro encontrar os comprimentos dos lados. Podemos usar a fórmula de distância entre dois pontos para encontrar os comprimentos dos lados AB, BC e AC. a) O vértice A pertence ao eixo dos x, então A tem coordenadas (a, 0). b) O vértice B pertence ao eixo dos y, então B tem coordenadas (0, b). c) A reta BC tem equação x² + y - 5 = 0. Podemos reescrever isso como y = -x² + 5. Como B tem coordenadas (0, b), podemos substituir x = 0 na equação da reta BC para encontrar que y = 5. Portanto, C tem coordenadas (c, 5). d) A reta AC tem equação x + 2y - 3 = 0. Podemos reescrever isso como y = (-1/2)x + 3/2. Substituindo x = a, encontramos que y = (-1/2)a + 3/2. Portanto, A tem coordenadas (a, (-1/2)a + 3/2). Agora podemos usar a fórmula de distância entre dois pontos: AB = √[(a - 0)² + (0 - b)²] = √(a² + b²) BC = √[(c - 0)² + (5 - b)²] = √(c² + (b - 5)²) AC = √[(a - c)² + ((-1/2)a + 3/2 - 5)²] = √[(a - c)² + (a/2 - 7/2)²] Para encontrar os valores de a, b e c, podemos usar as equações das retas BC e AC: y = -x² + 5 y = (-1/2)x + 3/2 Igualando as duas expressões para y, temos: -x² + 5 = (-1/2)x + 3/2 -x² + (1/2)x + 7/2 = 0 Multiplicando tudo por -2 para simplificar: 2x² - x - 7 = 0 Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação: x = [1 ± √(1 - 4(2)(-7))]/(2(2)) x = [1 ± √57]/4 Como o vértice B está no eixo dos y, b = 0. Podemos escolher uma das raízes para a e outra para c. Vamos escolher: a = [1 + √57]/4 c = [1 - √57]/4 Agora podemos calcular os comprimentos dos lados: AB = √[(a² + b²)] = √(a²) = a = [1 + √57]/4 BC = √[(c² + (b - 5)²)] = √[(c² + 25)] = √[(1 - √57)² + 25] = √[33 - 2√57] AC = √[(a - c)² + (a/2 - 7/2)²] = √[(1/2(√57))² + (a - 7/4)²] = √[(57/4) + (a - 7/4)²] Agora podemos somar os comprimentos dos lados para encontrar o perímetro: P = AB + BC + AC = [1 + √57]/4 + √[33 - 2√57] + √[(57/4) + (a - 7/4)²]