78. Num triângulo ABC, sabe-se que: (1) A pertence ao eixo das abscissas; (2) B pertence à bissetriz b 13; (3) a equação da reta AC é x 1 y 2 4 ...

Para calcular o perímetro do triângulo ABC, precisamos primeiro encontrar as coordenadas dos pontos A, B e C. Sabemos que A pertence ao eixo das abscissas, então sua coordenada y é 0. Além disso, a equação da reta AC é x - y/2 = 4/5. Substituindo x por 0, temos: 0 - y/2 = 4/5 y = -8/5 Portanto, as coordenadas de A são (0, 0). Sabemos também que B pertence à bissetriz b13, que divide o ângulo em B em dois ângulos iguais. Portanto, a bissetriz é perpendicular à mediana que passa por B. A mediana que passa por B divide o lado AC em duas partes iguais, então a coordenada x de B é a média aritmética das coordenadas x de A e C. Como A tem coordenada x igual a 0, temos: x(B) = (0 + x(C))/2 x(C) = 2x(B) Além disso, a equação da reta BC é 2x - 3y = 7/5. Substituindo x por x(B) e y por 0, temos: 2x(B) - 3(0) = 7/5 x(B) = 7/10 Portanto, as coordenadas de B são (7/10, 0). Para encontrar as coordenadas de C, podemos usar a equação da reta AC. Substituindo x por x(C), temos: x(C) - y/2 = 4/5 2x(C) - y = 8/5 Além disso, sabemos que a equação da reta BC é 2x - 3y = 7/5. Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas de C: 2x(C) - y = 8/5 2x(C) - 3(2x(C) - 7/5) = 7/5 2x(C) - 6x(C) + 21/5 = 7/5 -4x(C) = -14/5 x(C) = 7/10 Substituindo x(C) na primeira equação, temos: 2(7/10) - y = 8/5 y = -6/5 Portanto, as coordenadas de C são (7/10, -6/5). Agora podemos calcular as distâncias entre os pontos e, em seguida, o perímetro do triângulo ABC: AB = sqrt((7/10 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = 7/10 AC = sqrt((7/10 - 0)^2 + (-6/5 - 0)^2) = sqrt(149)/10 BC = sqrt((7/10 - 2(7/10))^2 + (-6/5 - 3(0))^2) = sqrt(29)/5 Perímetro = AB + AC + BC = 7/10 + sqrt(149)/10 + sqrt(29)/5 = (7 + sqrt(149) + 2sqrt(29))/10.