Uma utilidade interessante para o método de Newton, por exemplo, é determinar a aproximação de um irracional. Determine a raiz cúbica de 5, usando ...

Para encontrar a raiz cúbica de 5 usando o método de Newton, podemos seguir os seguintes passos: 1. Escolha um valor inicial para a raiz, por exemplo, x0 = 2. 2. Calcule a derivada da função f(x) = x³ - 5, que é f'(x) = 3x². 3. Use a fórmula do método de Newton para encontrar a próxima aproximação da raiz: xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn). 4. Repita o passo 3 até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que uma tolerância pré-determinada. Aplicando esses passos, obtemos as seguintes aproximações: - x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 2 - (2³ - 5)/(3*2²) = 1,8333... - x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = 1,8333... - (1,8333...³ - 5)/(3*(1,8333...²)) = 1,5927... - x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) = 1,5927... - (1,5927...³ - 5)/(3*(1,5927...²)) = 1,4954... - x4 = x3 - f(x3)/f'(x3) = 1,4954... - (1,4954...³ - 5)/(3*(1,4954...²)) = 1,4761... - x5 = x4 - f(x4)/f'(x4) = 1,4761... - (1,4761...³ - 5)/(3*(1,4761...²)) = 1,4713... Assim, a raiz cúbica de 5, aproximada com cinco casas decimais, é 1,4713..., que corresponde à alternativa E.