4. Prove que em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é também bissetriz e altura. Provar que em um triângulo isósceles a mediana ...

Seja ABC um triângulo isósceles com AB = AC. Seja M o ponto médio de BC, ou seja, a mediana relativa a base. Queremos provar que AM é bissetriz e altura. Primeiro, vamos mostrar que AM é bissetriz. Seja D o ponto de interseção de AM com BC. Como M é o ponto médio de BC, temos que BM = MC. Como AB = AC, temos que os triângulos ABM e ACM são congruentes (pelo caso LAL). Portanto, temos que os ângulos BMA e CMA são iguais, ou seja, AM é bissetriz. Agora, vamos mostrar que AM é altura. Para isso, precisamos mostrar que o triângulo ABM é retângulo em A. Como AB = AC, temos que os ângulos BAC e BCA são iguais. Como AM é bissetriz, temos que os ângulos BAM e CAM são iguais. Portanto, temos que os ângulos BAC, BAM e CAM são iguais, ou seja, o triângulo ABM é isósceles. Como BM = MC, temos que os ângulos ABM e ACM são iguais. Portanto, a soma dos ângulos do triângulo ABM é 180 graus, ou seja, o triângulo ABM é retângulo em A. Portanto, AM é altura. Assim, concluímos que em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é também bissetriz e altura.