Um função f, de  em , é tal que para todo a, a  , e todo b, b  , tem-se: f(a + b) = f(a) + f(b). Determine f(0). Verifique que f é ímpar. Se ...

Dado que f(a + b) = f(a) + f(b), temos que f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), o que implica que f(0) = 0. Para verificar que f é ímpar, temos que mostrar que f(-x) = -f(x) para todo x em R. Temos que f(x + (-x)) = f(x) + f(-x), o que implica que f(-x) = -f(x), como queríamos demonstrar. Se f(1) = k, então f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 2k. De forma mais geral, podemos mostrar por indução que f(n) = nk para todo n em N. De fato, para n = 1 temos f(1) = k, e supondo que a igualdade vale para n = k, temos que f(k + 1) = f(k) + f(1) = k(k) + k = (k + 1)k, o que completa a prova por indução.