Seja f : R → R contı́nua em R tal que | f (x)| ≤ |x3 + x2| , para todo x ∈ R. A função f é derivável em 0? Resp.: Sim . A função f é contínua ...

Seja f : R → R contı́nua em R tal que | f (x)| ≤ |x3 + x2| , para todo x ∈ R. A função f é derivável em 0? Resp.: Sim .

A função f é contínua em R.
A função f é derivável em 0.
A função f é limitada em R.
a) Apenas a afirmativa I está correta.
b) Apenas a afirmativa II está correta.
c) Apenas a afirmativa III está correta.
d) As afirmativas I e II estão corretas.
e) As afirmativas II e III estão corretas.

Matemática

•

Outros

Aprendendo Através de Exercícios

14/02/2024

Essa pergunta também está no material:

6 pág.

Lista de Cálculo 1

Cálculo I • Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito SantoInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo

Débora Soares

💡 1 Resposta

14.02.2024

A função f é contínua em R e limitada em R, pois |f(x)| ≤ |x³ + x²| para todo x ∈ R. Para verificar se a função é derivável em 0, precisamos calcular o limite da razão incremental: f'(0) = lim [f(x) - f(0)] / x x → 0 Usando a desigualdade dada, temos: |f(x) - f(0)| / |x - 0| ≤ |x² + x| Como x² + x → 0 quando x → 0, podemos aplicar o teorema do confronto e concluir que: lim |f(x) - f(0)| / |x - 0| = 0 x → 0 Portanto, f é derivável em 0 e a alternativa correta é a letra b) Apenas a afirmativa II está correta.