Calcule a seguinte integral: ∫▒〖x(1+x)^5 dx〗

Para calcular a integral ∫▒〖x(1+x)^5 dx〗, podemos usar a substituição trigonométrica. Fazendo a substituição u = 1 + x, temos que du/dx = 1 e dx = du. Substituindo na integral, temos: ∫▒〖x(1+x)^5 dx〗 = ∫▒(u-1)u^5 du Expandindo o termo u^5, temos: ∫▒(u-1)u^5 du = ∫▒(u^6 - u^5) du Integrando termo a termo, temos: ∫▒(u^6 - u^5) du = (1/7)u^7 - (1/6)u^6 + C Substituindo u = 1 + x, temos: (1/7)(1+x)^7 - (1/6)(1+x)^6 + C Portanto, a solução da integral é (1/7)(1+x)^7 - (1/6)(1+x)^6 + C.