Exercício 10. Critério de Divisibilidade por 7, 11 e 13 (a) Prove que 10002n − 1 é divisível por 1001, para todo n > 1. (b) Prove que 10002n−1 + ...

(a) Para provar que 10002n - 1 é divisível por 1001, para todo n > 1, podemos usar a identidade algébrica (a - b)(a + b) = a² - b². Podemos reescrever 10002n - 1 como (1000 + 1)2n - 1 e aplicar a identidade acima, considerando a = 1000 + 1 e b = 1. Assim, temos: 10002n - 1 = (1000 + 1)2n - 1 = [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] / (1000 + 1) = [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] / 1001 Como 1001 = 7 x 11 x 13, para provar que 10002n - 1 é divisível por 1001, é suficiente provar que [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] é divisível por 7, 11 e 13. Podemos notar que [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] é o produto de dois números consecutivos, o que implica que um deles é par e o outro é ímpar. Além disso, um deles é múltiplo de 1000 e o outro é um número consecutivo a esse múltiplo. Assim, podemos escrever: [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] = [(1000n + 1) + 1][(1000n + 1) - 1] = (1000n + 2)(1000n) = 2 x 1000n x (1000n + 1) Como um dos fatores é par e o outro é múltiplo de 1000, podemos concluir que [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] é divisível por 1000. Além disso, podemos notar que: [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] = (1000 + 1)n² - 1 = 10002n - 1 Assim, podemos concluir que 10002n - 1 é divisível por 1001, para todo n > 1. (b) Para provar que 10002n-1 + 1 é divisível por 1001, para todo n > 1, podemos usar a identidade algébrica (a - b)(a + b) = a² - b² novamente. Podemos reescrever 10002n-1 + 1 como (1000 + 1)2n-1 + 1 e aplicar a identidade acima, considerando a = 1000 + 1 e b = 1. Assim, temos: 10002n-1 + 1 = (1000 + 1)2n-1 + 1 = [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1] / (1000 + 1) + 1 = [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1 + 1000 + 1] / 1001 Como 1001 = 7 x 11 x 13, para provar que 10002n-1 + 1 é divisível por 1001, é suficiente provar que [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1 + 1000 + 1] é divisível por 7, 11 e 13. Podemos notar que [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1 + 1000 + 1] é o produto de dois números consecutivos, o que implica que um deles é par e o outro é ímpar. Além disso, um deles é múltiplo de 1000 e o outro é um número consecutivo a esse múltiplo. Assim, podemos escrever: [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1 + 1000 + 1] = [(1000n + 1) + 1][(1000n + 1) + 1000] = (1000n + 2)(1000n + 1002) = 2 x 1000n x (1001 + n) Como um dos fatores é par e o outro é múltiplo de 1001, podemos concluir que [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1 + 1000 + 1] é divisível por 1001. Além disso, podemos notar que: [(1000 + 1)n + 1][(1000 + 1)n - 1 + 1000 + 1] = (1000 + 1)2n + 1 = 10002n-1 + 1 Assim, podemos concluir que 10002n-1 + 1 é divisível por 1001, para todo n > 1. (c) Para provar um critério de divisibilidade por 7, 11 e 13, podemos usar as partes (a) e (b) do exercício. Seja a = a2a1a0 um número de três dígitos. Podemos escrever a como: a = 100a2 + 10a1 + a0 Podemos notar que: 10002n - 1 = 999...9 (com n dígitos 9) 10002n-1 + 1 = 1000...0 (com n dígitos 0) Assim, podemos escrever: a x 10002n - 1 = a x 999...9 = a2a1a0 x 999...9 x 100 = a2a1a0 x (1000 - 1) x 999...9 = a2a1a0 x 999...9000 - a2a1a0 x 999...9 a x 10002n-1 + 1 = a x 1000...0 = a2a1a0 x 1000...0 Podemos somar as duas expressões acima e obter: a x (10002n - 1 + 10002n-1 + 1) = a2a1a0 x 999...9000 + a2a1a0 x 1000...0 - a2a1a0 x 999...9 = a2a1a0 x (999...9000 - 999...9) + a2a1a0 x 1000...0 Podemos notar que 999...9000 - 999...9 é um número com n dígitos 9 seguido de três dígitos 0, o que implica que é divisível por 1001. Além disso, podemos notar que a2a1a0 x 1000...0 é divisível por 1000. Assim, podemos concluir que a x (10002n - 1 + 10002n-1 + 1) é divisível por 1001 x 1000 = 1001000 = 2³ x 5³ x 7 x 11 x 13. Podemos escrever: a x (10002n - 1 + 10002n-1 + 1) = a x 10002n = a x (1000 + 1)2n Podemos notar que (1000 + 1)2n é um número com n dígitos 1 seguido de três dígitos 0, o que implica que é divisível por 1000. Assim, podemos concluir que a x (10002n - 1 + 10002n-1 + 1) é divisível por 1001 x 1000 x (1000 + 1) = 7 x 11 x 13 x 2³ x 5³ x 1001. Podemos escrever: a x (10002n - 1 + 10002n-1 + 1) = a x 10002n = a x (1000 + 1)2n = a x (10002n - 1 + 10002n-1 + 1) Assim, podemos concluir que uma condição necessária e suficiente para que a seja divisível por 7, 11 e 13 é que a2a1a0 - a5a4a3 + a8a7a6 - a11a10a9 + ... seja divisível por 7, 11 e 13.