Exercício 22. Prove, por indução em n, a Fórmula de De Moivre [cos θ + i sen θ]n = cos (nθ) + i sen (nθ) , para todo n > 1. [cos θ + i sen θ]n = ...

Para provar a Fórmula de De Moivre por indução em n, primeiro precisamos verificar se a fórmula é válida para n = 1: [cos θ + i sen θ]^1 = cos(1θ) + i sen(1θ) = cos θ + i sen θ Agora, vamos assumir que a fórmula é válida para n = k: [cos θ + i sen θ]^k = cos(kθ) + i sen(kθ) Para provar que a fórmula é válida para n = k + 1, vamos multiplicar ambos os lados da equação por [cos θ + i sen θ]: [cos θ + i sen θ]^(k+1) = [cos θ + i sen θ]^k * [cos θ + i sen θ] Usando a fórmula de multiplicação de números complexos, podemos expandir o lado direito da equação: [cos θ + i sen θ]^(k+1) = (cos(kθ) + i sen(kθ)) * (cos θ + i sen θ) [cos θ + i sen θ]^(k+1) = cos(kθ)cos(θ) - sen(kθ)sen(θ) + i (sen(kθ)cos(θ) + cos(kθ)sen(θ)) Usando as identidades trigonométricas, podemos simplificar a equação: [cos θ + i sen θ]^(k+1) = cos((k+1)θ) + i sen((k+1)θ) Portanto, a fórmula de De Moivre é válida para todo n > 1.