1.2. Algoritmo da divisão em Z (Divisão Euclidiana em Z) Sejam a, b ∈ Z com b ≠ 0. Então, existem e são únicos os números inteiros q e r tais que: ...

1.2. Algoritmo da divisão em Z (Divisão Euclidiana em Z)
Sejam a, b ∈ Z com b ≠ 0. Então, existem e são únicos os números inteiros q e r tais que:
a = b.q + r, onde 0 ≤ r < |b|
Observações:
-- A relação a = b.q + r, onde 0 ≤ r < |b| é escrita como segue:

dividendo a
b divisor

r resto
q quociente

-- Quando tivermos r = 0 (isto é, resto nulo) teremos: a = b.q, e nesse caso, diremos que a divisão é exata.
-- Sejam a, b ∈ Z, com b ≠ 0 e |a| < |b|. Na divisão euclidiana de a por b, podemos concluir que:
• para a > 0, teremos q = 0 e r = a;
• para a < 0, teremos q = –1 e r = |b| – |a|.
-- Ao nos depararmos com uma igualdade da forma: a = b.x + y, onde a, b, x, y ∈ Z, b ≠ 0 e 0 ≤ y < |b|, podemos interpretá-la do seguinte modo: “a quando dividido por b nos dá quociente x e resto y”.
Exemplos:
E.1) 9 = 5.1 + 4, porque 9 = 5.1 + 4 e 0 ≤ 4 < |5|.
E.2) 17 = (–2).(–8) + 1, porque 17 = (–2).(–8) + 1 e 0 ≤ 1 < |-2|.
E.3) –23 = 6.(–4) + 1, porque –23 = 6.(–4) + 1 e 0 ≤ 1 < |6|.
E.4) –105 = –41.18 + 3, porque –105 = –41.18 + 3 e 0 ≤ 3 < |–41|.
E.5) 62 = 63.1 + (–1), porque 62 = 63.1 + (–1) e 0 ≤ |–1| < |63|.