Se  é o conjunto dos números reais, a função f:  →  dada por f(x) = (x + 1)/(2x + 3) possui inversa a) ( ) = (3x – 1)/(x – 1) b) ( ) = (2x – 1)...

Para verificar se a função f(x) = (x + 1)/(2x + 3) possui inversa, precisamos verificar se ela é injetora e sobrejetora. Para verificar se é injetora, precisamos verificar se f(x1) = f(x2) implica em x1 = x2. f(x1) = f(x2) implica em (x1 + 1)/(2x1 + 3) = (x2 + 1)/(2x2 + 3). Resolvendo para x1, temos x1 = (3x2 + 1)/(2 - 4x2) e, resolvendo para x2, temos x2 = (3x1 + 1)/(2 - 4x1). Substituindo x1 na equação de x2, temos x2 = (3[(3x2 + 1)/(2 - 4x2)] + 1)/(2 - 4[(3x2 + 1)/(2 - 4x2)]) = (3x2 - 2)/(2x2 - 1). Substituindo x2 na equação de x1, temos x1 = (3[(3x1 + 1)/(2 - 4x1)] + 1)/(2 - 4[(3x1 + 1)/(2 - 4x1)]) = (3x1 - 2)/(2x1 - 1). Portanto, x1 = x2, o que significa que f(x) é injetora. Para verificar se é sobrejetora, precisamos verificar se para todo y em R, existe um x em R tal que f(x) = y. y = (x + 1)/(2x + 3) implica em 2xy + 3y = x + 1, ou seja, x - 2xy = 1 - 3y. Portanto, x = (1 - 3y)/(1 - 2y). Assim, f(x) é sobrejetora. Como f(x) é injetora e sobrejetora, ela possui inversa. A resposta correta é a alternativa d) ( ) = (3x + 1)/(x – 1).