Um professor solicitou a seus alunos que encontrassem os autovetores do operador abre colchetes tabela linha com 3 1 linha com 2 2 fim da tabela f...

Para encontrar os autovetores do operador, precisamos encontrar os vetores que, quando multiplicados pelo operador, resultam em um múltiplo escalar do vetor original. Ou seja, precisamos encontrar os vetores v que satisfazem a equação Av = λv, onde A é o operador, λ é o autovalor correspondente e v é o autovetor. Realizando as multiplicações do operador pelos vetores indicados pelos alunos, temos: - abre colchetes tabela linha com 1 linha com 2 fim da tabela fecha colchetes: abre colchetes tabela linha com 7 linha com 4 fim da tabela fecha colchetes (não é autovetor) - abre colchetes tabela linha com 1 linha com célula com menos 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes: abre colchetes tabela linha com menos 1 linha com menos 2 fim da tabela fecha colchetes (não é autovetor) - abre colchetes tabela linha com 1 linha com célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes: abre colchetes tabela linha com menos 2 linha com menos 1 fim da tabela fecha colchetes (não é autovetor) - abre colchetes tabela linha com 1 linha com 1 fim da tabela fecha colchetes: abre colchetes tabela linha com 3 linha com 3 fim da tabela fecha colchetes (não é autovetor) - abre colchetes tabela linha com 0 linha com 0 fim da tabela fecha colchetes: abre colchetes tabela linha com 0 linha com 0 fim da tabela fecha colchetes (é autovetor) Portanto, o vetor abre colchetes tabela linha com 0 linha com 0 fim da tabela fecha colchetes é um autovetor do operador. Para encontrar o segundo autovetor, precisamos encontrar outro vetor que satisfaça a equação Av = λv. Podemos fazer isso encontrando o autovalor correspondente ao autovetor que já encontramos. Para isso, precisamos resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Temos: det(abre colchetes tabela linha com 3 - λ linha com 1 linha com 2 linha com 2 - λ fim da tabela fecha colchetes) = (3 - λ)(2 - λ) - 2 = λ² - 5λ + 4 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos os autovalores λ1 = 4 e λ2 = 1. Agora, precisamos encontrar um vetor que satisfaça a equação Av = λ2v, ou seja: (abre colchetes tabela linha com 3 1 linha com 2 2 fim da tabela fecha colchetes - λ2I)v = 0 Substituindo λ2 e resolvendo o sistema de equações, encontramos que o vetor abre colchetes tabela linha com 1 linha com menos 1 fim da tabela fecha colchetes é um autovetor correspondente ao autovalor λ2 = 1. Portanto, os dois autovetores do operador são abre colchetes tabela linha com 0 linha com 0 fim da tabela fecha colchetes e abre colchetes tabela linha com 1 linha com menos 1 fim da tabela fecha colchetes. A alternativa correta é a letra C.