Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os limites a seguir: a) lim x→1 2− x− e(1−x) (x− 1)2 ; b) lim x→ 1 2 arcsen(2x− 1)− 2x+ 1 (2x− 1) ...

a) Para calcular esse limite, podemos aplicar a Regra de L'Hôpital duas vezes. Começamos derivando o numerador e o denominador separadamente: f'(x) = -1 - e^(1-x) g'(x) = 2(x-1) Agora, podemos aplicar a Regra de L'Hôpital pela primeira vez: lim x→1 [2 - x - e^(1-x)] / (x-1)^2 = lim x→1 [-1 - e^(1-x)] / 2(x-1) Derivando novamente: f''(x) = e^(1-x) g''(x) = 2 E aplicando a Regra de L'Hôpital pela segunda vez: lim x→1 [2 - x - e^(1-x)] / (x-1)^2 = lim x→1 [-1 - e^(1-x)] / 2(x-1) = lim x→1 [e^(1-x)] / 2 = e^0 / 2 = 1/2 Portanto, a alternativa correta é b) 1/2. b) Para calcular esse limite, também podemos aplicar a Regra de L'Hôpital duas vezes. Começamos derivando o numerador e o denominador separadamente: f'(x) = 2 / sqrt(1 - (2x-1)^2) g'(x) = 2 Agora, podemos aplicar a Regra de L'Hôpital pela primeira vez: lim x→1 [arcsen(2x-1) - 2x + 1] / (2x-1) = lim x→1 [2 / sqrt(1 - (2x-1)^2)] / 2 Derivando novamente: f''(x) = 4(2x-1) / [sqrt(1 - (2x-1)^2)]^3 g''(x) = 0 E aplicando a Regra de L'Hôpital pela segunda vez: lim x→1 [arcsen(2x-1) - 2x + 1] / (2x-1) = lim x→1 [2 / sqrt(1 - (2x-1)^2)] / 2 = lim x→1 1 / sqrt(1 - (2x-1)^2) Para calcular esse último limite, podemos fazer a substituição u = 2x-1, de modo que x = (u+1)/2. Então, quando x → 1, temos u → 1, e o limite se torna: lim x→1 [arcsen(2x-1) - 2x + 1] / (2x-1) = lim u→1 1 / sqrt(1 - u^2) = 1 / sqrt(1 - 1^2) = 1 / 0, que é uma indeterminação. Portanto, a alternativa correta é e) não existe.