AP2 CÁLCULO I 2023 2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO AP2 – CÁLCULO I – 2/2023
Código da Disciplina: EAD01005 - EAD01083
Questão 1 [2.0 pontos]
Seja f : R −→ R a função polinomial definida por
f(x) = x3 + a x2 − 2.
Sabemos que a função f admite um ponto de inflexão em x = −1.
a) Determine o valor de a ∈ R;
b) Calcule os pontos cŕıticos de f e classifique cada um deles como ponto de máximo local, ponto
de ḿınimo local ou nenhuma dessas caracteŕısticas, justificando cuidadosamente a sua resposta.
Solução:
(a) Como f tem um ponto de inflexão em x = −1, sabemos que f ′′(−1) = 0.
f(x) = x3 + a x2 − 2
f ′(x) = 3x2 + 2a x
f ′′(x) = 6x+ 2a
f ′′(−1) = −6 + 2a = 0
Logo, 2a = 6 =⇒ a = 3. !
(b) Usando a informação a = 3, encontramos os pontos cŕıticos de f fazendo:
f ′(x) = 3x2 + 6x = 3x(x+ 2) = 0.
Assim, os pontos cŕıticos de f são x = −2 e x = 0. Para classificá-los vamos fazer a análise
de sinais da função derivada f ′(x):
−2 0
+ + ++ −−−−−−− ++++
Como a função f é crescente em (∞, −2)∪(0, +∞) e decrescente em (−2, 0), o ponto x = −2
é máximo local e o ponto x = 0 é ḿınimo local.
Cálculo I Gabarito AP2 2/2023
A figura a seguir ilustra o resultado mas não faz parte da solução.
!
Questão 2 [2.0 pontos]
Seja f : (−∞, 5] −→ R a função definida por f(x) =
√
5− x . Determine uma equação que
defina a reta r que contem o ponto (9, 0) e é tangente ao gráfico da função f .
Sugestão: Suponha que o ponto comum à reta r e o gráfico da função f tenha coordenada
x = a e lembre-se da interpretação geométrica do valor da derivada de uma função em um ponto
espećıfico.
Solução: Vamos supor que a reta r seja tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) =
(a,
√
5− a ). Assim, da interpretação geométrica da derivada de uma função em um ponto,
temos que o coeficiente angular de r, que denotaremos por m, é igual a f ′(a).
f(x) =
√
5− x =⇒ f ′(x) = −1
2
√
5− x
.
Portanto,
m = f ′(a) =
−1
2
√
5− a
Por outro lado, a reta r contem os pontos (a,
√
5− a ) e (9, 0). Podemos calcular o coeficiente
angular de r usando essa informação:
m =
y1 − y0
x1 − x0
=
√
5− a − 0
a− 9
=
√
5− a
a− 9
.
Reunindo as duas informações, temos a igualdade:
−1
2
√
5− a
=
√
5− a
a− 9
=⇒ 9− a = 2(5− a) =⇒ a = 1.
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Assim, a reta r é tangente ao gráfico de f no ponto (1,
√
5− 1 ) = (1, 2), o coeficiente angular
m =
−1
2
√
5− 1
=
−1
4
e uma equação que define r é
y − 2 = −1
4
(x− 1) ⇐⇒ y = 9− x
4
.
A figura a seguir ilustra a questão mas não faz parte da solução.
!
Questão 3 [2.0 pontos]
Seja f : R− { 1 } −→ R a função definida por
f(x) = arctan
(
1
1− x
)
.
a) Calcule a f ′(x);
b) Determine uma equação que defina a reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenada
x = 0.
Solução: a) Como (arctanx)′ =
1
1 + x2
, temos
f ′(x) =
(
1
1− x
)′
1 +
(
1
1− x
)2 =
1
(1− x)2
1 +
1
(1− x)2
=
1
���
��(1− x)2
(1− x)2 + 1
��
���(1− x)2
=
1
(1− x)2 + 1
=
1
x2 − 2x+ 2
.
Observe que a expressão
1
x2 − 2x+ 2
está definida em x = 1, mas não existe f ′(1), um vez que
1 /∈ Dom(f).
b) A equação que define a reta tangente ao gráfico de f no ponto x = 0 é y = f(0) + f ′(0)x.
Usando a definição da função e a derivada encontrada no item anterior, temos:
f(0) = arctan(1) =
π
4
e f ′(0) =
1
2
.
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Portanto, y =
x
2
+
π
4
é a equação da reta em questão. !
A figura a seguir ilustra a questão mas não faz parte da solução.
!
Observe na figura que o gráfico de f consiste de dois ramos. O ramo que está sobre o intervalo
(−∞, 1) termina na altura y = π
2
e o ramo posterior, sobre o intervalo (1, +∞) inicia na altura
y = −π
2
. O valor 1, da expressão
1
x2 − 2x+ 2
em x = 1 é a inclinação das retas ‘tangente’ às
extremidades desses ramos.
!
Questão 4 [2.0 pontos]
Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os limites a seguir:
a) lim
x→1
2− x− e(1−x)
(x− 1)2
; b) lim
x→ 1
2
arcsen(2x− 1)− 2x+ 1
(2x− 1)
.
Solução:
(a) Como lim
x→1
2− x− e(1−x) = 0 e lim
x→1
(x− 1)2 = 0, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital:
lim
x→1
2− x− e(1−x)
(x− 1)2
= lim
x→1
−1 + e(1−x)
2(x− 1)
Como lim
x→1
−1 + e(1−x) = 0 e lim
x→1
2(x− 1) = 0, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital:
lim
x→1
−1 + e(1−x)
2(x− 1)
= lim
x→1
−e(1−x)
2
=
−1
2
.
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Assim, lim
x→1
2− x− e(1−x)
(x− 1)2
= lim
x→1
−e(1−x)
2
=
−1
2
. !
(b) Como lim
x→ 1
2
arcsen(2x − 1) − 2x + 1 = 0 e lim
x→ 1
2
(2x − 1) = 0, podemos aplicar a Regra de
L’Hôpital:
lim
x→ 1
2
arcsen(2x− 1)− 2x+ 1
(2x− 1)
= lim
x→ 1
2
2√
1− (2x− 1)2
− 2
2
= lim
x→ 1
2
2− 2
√
1− (2x− 1)2
2
√
1− (2x− 1)2
= 0.
Note que (arcsenx)′ =
1√
1− x2
e lim
x→ 1
2
√
1− (2x− 1)2 = 1.
Assim lim
x→ 1
2
arcsen(2x− 1)− 2x+ 1
(2x− 1)
= 0. !
Questão 5 [2.0 pontos]
Seja f : R −→ R a função polinomial definida por f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 3. Determine os
extremos absolutos de f , com seus respectivos valores, no intervalo [1, 3] ⊂ R.
Solução:
Vamos determinar os pontos cŕıticos da função f(x) = 2x3−9x2+12x+3. Para isso, calculamos
f ′(x) = 6x2 − 18x+ 12 e fazemos f(x) = 0:
6x2 − 18x+ 12 = 6(x2 − 3x+ 2) = 6(x− 1)(x− 2) = 0
Os pontos cŕıticos são x = 1 e x = 2. A determinação dos pontos extremos de f no intervalo
[1, 3] demanda uma análise que inclua os valores de f nos pontos cŕıticos que pertencem ao
intervalo e nos seus pontos extremos.
x f(x) Conclusão
1 8 -
2 7 Ḿınimo
3 12 Máximo
O ponto x = 1, apesar de ser cŕıtico da função, restrito ao intervalo [1, 3] é um ponto do bordo
e não é máximo nem ḿınimo.
O ḿınimo absoluto de f em [1, 3] ocorre no interior em x = 2, com valor 7. O máximo absoluto
de f em [1, 3] ocorre no bordo, em x = 3, com valor 12. !
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A figura a seguir ilustra a questão mas não faz parte da solução.
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