Exercício 12 Um oscilador harmônico amortecido tem fator de qualidade Q :=ω0/γ = 10. Par- tindo da posição de equilíbrio, ele imediatamente adquire...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a equação geral do movimento harmônico amortecido: x(t) = A * exp(-γt/2m) * cos(ωt - φ) Onde: - A é a amplitude da oscilação; - γ é o coeficiente de amortecimento; - m é a massa do oscilador; - ω é a frequência angular; - φ é a fase inicial. Podemos encontrar a amplitude A a partir da velocidade inicial: v(0) = -A * γ/2m * cos(φ) + A * ω * sin(φ) = 5 m/s Podemos encontrar a fase inicial φ a partir da posição inicial: x(0) = A * cos(φ) = 0 Assim, temos que φ = π/2 e A = 10 m. A energia total do oscilador é dada por: E(t) = 1/2 * k * x(t)^2 + 1/2 * m * v(t)^2 Onde k é a constante elástica do oscilador. Como a energia total diminui numa taxa igual a 4 vezes a energia cinética instantânea, temos: dE/dt = -4 * 1/2 * m * v(t)^2 Substituindo as equações acima, podemos encontrar a equação diferencial que descreve o movimento do oscilador: x''(t) + 2γx'(t) + ω0^2x(t) = 0 Onde ω0 = ω/√(1-γ^2/ω^2) é a frequência angular não amortecida. A solução geral dessa equação é: x(t) = exp(-γt/2m) * (C1 * cos(ωt') + C2 * sin(ωt')) Onde t' = √(1-γ^2/ω^2) * t e C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. Podemos encontrar as constantes C1 e C2 a partir das condições iniciais: x(0) = A * cos(φ) = 0 x'(0) = -γA/2m * cos(φ) + ωA * sin(φ) = 5 m/s Assim, temos que C1 = 0 e C2 = 5m/(ωA). Substituindo na equação geral, temos: x(t) = 10 * exp(-5t/4) * sin(ωt/√(1-25/ω^2)) Podemos encontrar a frequência angular ω a partir do fator de qualidade Q: Q = ω0/γ = ω/2γ Assim, temos que ω = 20γ. Substituindo na equação acima, temos: x(t) = 10 * exp(-5t/4) * sin(20t/√(1-25/400)) Simplificando, temos: x(t) = 10 * exp(-5t/4) * sin(20t/√(15)) Portanto, o deslocamento x do oscilador em função do tempo é dado por x(t) = 10 * exp(-5t/4) * sin(20t/√(15)), em metros.