(Unicamp-SP) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 - 2x, definidas para todo número real x. Encont...

Para resolver a primeira questão, precisamos analisar os sinais das funções f(x) e g(x) em cada intervalo do eixo x. Para f(x) = ax + 3a, temos que: - Se a > 0, f(x) é crescente e corta o eixo x em -3. - Se a < 0, f(x) é decrescente e corta o eixo x em -3. Para g(x) = 9 - 2x, temos que: - g(x) é decrescente e corta o eixo x em 4,5. Agora, vamos analisar os sinais de f(x) · g(x) em cada intervalo do eixo x: - Para x < 4,5, f(x) · g(x) > 0 se a < 0. - Para 4,5 < x < -3, f(x) · g(x) > 0 se a > 0. - Para x > -3, f(x) · g(x) > 0 se a < 0. Portanto, temos duas soluções inteiras para a inequação f(x) · g(x) > 0: a < 0 ou a > 0. Para a segunda questão, precisamos encontrar o valor de a que satisfaz a condição f(g(x)) = g(f(x)) para todo x real. Substituindo as funções, temos: f(g(x)) = f(9 - 2x) = a(9 - 2x) + 3a = 9a - 2ax + 3a g(f(x)) = g(ax + 3a) = 9 - 2(ax + 3a) = 3 - 2ax Igualando as expressões, temos: 9a - 2ax + 3a = 3 - 2ax 11a = 3 a = 3/11 Portanto, o valor de a que satisfaz a condição é a = 3/11.